Вопрос по планиметрии

Думаю, достаточно рассмотреть случаи равностороннего тр-ка с М в центре и как можно более острого (AB->0) c М где-то на границе. Так получим экстремальные значения для М. Да и что-то мне подсказывает, что в произвольном треугольнике с периметром 1 будет не так много точек, удовлетворяющих условиям для М (скорее всего, даже одна).

Что-то мне подсказывает, что такое возможно только для равнобедренного треугольника.

Условие АВ - СМ = АС - ВМ = ВС - АМ равносильно одновременному выполнению равенств AB - AC = CM - BM и AC - BC = BM - AM. Посмотрим, какие точки M удовлетворяют первому равенству AB - AC = CM - BM. Все такие точки лежат на гиперболе с фокусами в точках B,C, которая проходит через точку A. Это следует из фокального свойства гиперболы (геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до двух данных точек -- фокусов -- постоянен). Аналогично и все такие точки M, удовлетворяющие второму равенству AC - BC = BM - AM, тоже лежат на гиперболе только теперь фокусы -- A,B, а сама гипербола проходит через точку С. Таким образом, искомая точка M лежит на пересечении двух гипербол. Вся эта конструкция рассматривается здесь https://math.stackexchange.com/questions/2958405/a-conjecture-about-the-intersections-of-three-hyperboles-related-to-any-triangle
Только проблема в том, что у каждой гиперболы две ветви, а условия AB - AC = CM - BM и AC - BC = BM - AM заставляют выбрать у каждой из двух гипербол ту ветвь, которая не проходит через вершину треугольника. Тогда точка M может оказаться и вне треугольника (по той ссылке см. третий рисунок, точка D). А что касается величины x, то я пока вижу только долгое решение: то, что я сказал выше, выписать в системе координат, вывести уравнения гипербол, найти их точку пересечения, посчитать x. Но если просто прикинуть, что да как, то можно попробовать построить чертеж на геогебре https://www.geogebra.org/calculator подвигать точки треугльника и посмотреть как будет себя вести точка M и величина x