У меня редко возникали проблемы с пониманием доказательств теорем, которые дают хоть сколь либо неочевидные и нетривиальные выводы о строении фигур и отношении величин меж собой. Однако с другой стороны - у меня большие проблемы с доказательством самых очевидных утверждений.
К примеру учебник берется доказать следующее: "через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.".
Первая мысль, которая появляется у меня в голове: "Ну это же и так очевидно, как это доказывать вообще?". Хорошо, читаю учебник - ход мыслей лаконичен, все утверждения редуцируются к аксиомам, и в один момент, причем это происходит практически всегда, автор пропускает какой-то шаг и высказывает положение ничем не подкрепленное. К примеру, что две прямые лежат в одной плоскости (в том случае это никак не следовало ни из аксиом, ни из условия, ни из идей, озвученных ранее).
Причем это положение легко представимо, поэтому по идее не должно вызывать вопросов. Но зачем мы тогда вообще брались доказывать не менее очевидное утверждение, если его также можно пропустить, списав на то, что его легко представить.
Я просто не понимаю, где проходит эта грань.
Естественные науки
Доказательство простейших теорем в планиметрии/стереометрии
вы пример приведите, в геометрии обычно все строго и логично, есть несколько аксиом из которых все остальное выводится. Самое красивое, что можно взять другие аксиомы и будут другие теоремы но мир то не поменяется, если речь о планиметрии и стереометрии. Кстати самая логически правильная из школьных наук. Может вы просто упустили что-то. Короче давайте разбираться на конкретном примере. Вот то что вы спросили, доказательство сводится к аксиоме, через любые три точки лежащие не на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну. Вот и соображайте. Есть прямая, на ней точно есть две точки, и даже больше, но нас интересуют любые две. Если задать точку М не на этой прямой, то согласно аксиоме будет только одна плоскость включающая две точки на прямой (а значит и все остальные точки) и точку М, а значит мы свели задачу к планиметрии и смотрим как это решается в плоскости. Я на память не помню, вроде там от противного, но могу ошибаться. Двадцать шесть лет назад сдавал экзамены.
Не знаю, где ты там усмотрел "автор пропускает какой-то шаг и высказывает положение ничем не подкрепленное".
В доказательстве теорем таких пропусков нету.
А вообще по поводу очевидности.
То, что очевидно, далеко не всегда истинно.
Пример тому - движение Солнца.
Сколько веков понадобилось человечеству, чтобы опровергнуть Геоцентризм.
Да, есть в геометрии Ахиллесова пята - это утверждения, принимаемые без доказательства в силу их элементарности и очевидности - аксиомы. На определенном наборе аксиом строится вся геометрия. И тут кроется слабость - в недоказуемой очевидности.
Поменяй одну аксиому (например аксиому о параллельных прямых) - и ты построишь другую геометрию - геометрию Лобачевского.
В доказательстве теорем таких пропусков нету.
А вообще по поводу очевидности.
То, что очевидно, далеко не всегда истинно.
Пример тому - движение Солнца.
Сколько веков понадобилось человечеству, чтобы опровергнуть Геоцентризм.
Да, есть в геометрии Ахиллесова пята - это утверждения, принимаемые без доказательства в силу их элементарности и очевидности - аксиомы. На определенном наборе аксиом строится вся геометрия. И тут кроется слабость - в недоказуемой очевидности.
Поменяй одну аксиому (например аксиому о параллельных прямых) - и ты построишь другую геометрию - геометрию Лобачевского.
Наталья Маслова
59 005
Пропусков в доказательстве не может быть. Нельзя просто сослаться на интуицию или образное мышление. Скорее всего то, о чём Вы говорите, всё-таки как-то доказывается. Другое дело, что в школьных курсах могут что-то опускать, чтобы упростить материал (например, иногда не все формулы объёмов доказываются). Но для курса геометрии -- это скорее исключение, чем правило. Мне кажется, в Вашем случае всё же доказательство можно додумать.
По поводу очевидного в геометрии. Если капать глубоко, то это вообще из области философии математики. Здесь можно много рассуждать, но на деле учебник даёт некий, условно скажем, набор стандартных фактов и приёмов, которыми можно пользоваться. А ощущение той грани, о которой Вы говорите, приходит с опытом решения задач
По поводу очевидного в геометрии. Если капать глубоко, то это вообще из области философии математики. Здесь можно много рассуждать, но на деле учебник даёт некий, условно скажем, набор стандартных фактов и приёмов, которыми можно пользоваться. А ощущение той грани, о которой Вы говорите, приходит с опытом решения задач
Дарья Шалимова
1 537
Похожие вопросы
- Если кто из простолюдинов (которые не работают на систему) найдет более короткое доказательство Великой Теоремы Ферма, то
- Напомните пожалуйста, какой довод приводит Лобачевский в доказательство своей теоремы о параллельных?
- Доказательство Великой Теоремы Ферма: "если зажигаются звёзды, то..." Может ли кто хотя бы первые пару страниц понять?
- Может ли Всезнающее Существо знать без доказательства верна ли Последняя Теорема Ферма?
- В чем же заключается сложность доказательства теоремы Ферма?
- Доказательство теоремы синусов через формулу площади треугольника чрез синус
- Существует ли алгоритм для доказательства математических уравнений (теорем,тождеств и пр.)?
- Как запомнить доказательства теорем по математическому анализу ?
- А Вы пытались прочитать, осознать и понять доказательство теоремы Ферма? Получилось?
- Теорема Ферма....Почему её называют именно теоремой,если не существует(на данный момент) доказательства ???
Ну и также намного легче представить себе обратный факт о реальном мире, нежели вообразить себе треугольник, в котором при увеличении одного из углов - другой оставался бы таким же, хоть это и не доказывает истинности утверждения.