Напомните пожалуйста, какой довод приводит Лобачевский в доказательство своей теоремы о параллельных?

Знаете, как "доказываются" аксиомы (точнее говоря, их непротиворечивость) ? Сведением к другим "более базовым" аксиомам. Геометрию Лобачевского можно свести к геометрии на седле, тогда будет очевидна.

"И далее геометрию Эвклида великий русский математик переписал с поправкой на множество параллельных? "
Вообще, неплохо просто посмотреть для начала, в док-ве каких именно теорем используется эта самая аксиома. Тогда переписывать будет намного проще.

Ты вообще не понимаешь, о чем речь. При чем тут "очевидна"? То. что тебе очевидно - другому неочевидно, и реально вообще неверно.

Геометрию создавали изначально для измерения участков земли. А Земля-то - шар, на ней сумма углов треугольника не 180, она зависит от размера треугольника. И как же "очевидно"?

Странно. что Лобачевский не понял, что подобную геометрию можно построить на искривленной поверхности типа седлообразного гиперболоида. И параллельных будет по нескольку, и любой участок прямой будет кратчайшим.

Математическая теория описывает не какие-то бытовые предметы, а абстрактные. Точка, прямая, плоскость - неопределяемые понятия и все. Никаких "очевидно.

Если не получается доказать 5-й постулат - так может он и не может быть доказан? Дальше обычная логика, предположим противное, получим следствия, если прием к противоречию - значит предположение было неверно. Лобачевский предположил - и получил не противоречие, а новую полноценную геометрию.

А спустя века оказалось. что наше пространство неевклидово, что в нем сумма углов треугольника не равна 180, что в нем могут существовать "двуугольники" с ненулевыми углами.

Самый простой пример: отклонение луча от звезды массой Солнца. Отклоненный луч, тем не менее - кратчайший путь от звезды к нам, волна идет всегда по кратчайшему (точнее - наибыстрейшему) пути.
Есть и куча примеров раздвоение, рассчетверения и даже превращения в кольцо изображения далекой галактики массой более близкой. Это - те самые двуугольники.

Это не теорема, это аксиома. Вместо пятого постулата Евклида. Заменив пятый постулат, Лобачевский построил непротиворечивую геометрию. Впоследствии Риман, приняв, что нет ни одной параллельной, построил свою геометрию.