Доказательство, что прямые параллельны

Соответственные углы образуются при пересечении секущей двух прямых - это определение. В нем ничего не говорится о параллельности этих прямых.
А дальше доказывается теорема о том, что если секущая пересекает параллельные прямые, то соответственные углы равны.
Поэтому логика в доказательстве не нарушена.

Прямые могут быть и не параллельными. А существование параллельных прямых - аксиома геометрии Евклида, она не нуждается в доказательствах. Но формулироваться эта аксиома может по-разному,. Что соответственные углы равны - это другая формулировка аксиомы, приводящая к той же эвклидовой геометрии. В других геометриях другие аксиомы - о том, что параллельных прямых не существует или что существуют не только параллельные. но и сверхпараллельные прямые.

1.Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
2. Не пересекаются (и не совпадают, в частности).
Вы зря горячитесь.
Называйте как хотите, предварительно оговорив, что вы имеете ввиду используя идентификаторы (слова).

Если не пересекаются

прямые не всегда параллельны.

Посмотрите сюжет Ералаша "Аксиома" (выпуск № 8).
Там обсуждается именно эта тема.

Параллельные всегда будут параллельными. И даж если идут в бесконечность.
Если они вдруг стали пересекаться... тогда мы имеем дело с другими явлениями. Любые другие аномалии. Оптические и т.д..

Для доказательства того, что две прямые параллельны, необходимо показать, что угол между ними равен нулю.

Существует несколько способов доказательства параллельности двух прямых. Один из наиболее распространенных способов - использование аксиом Евклида.

Пусть даны две прямые AB и CD, и нужно доказать, что они параллельны. Для этого предположим, что они не параллельны, т.е. пересекаются в точке E.

Тогда существует угол AEC между прямыми AB и CD. По аксиоме Евклида из этого угла можно построить два других угла, которые будут суммой 180 градусов. Пусть это будут углы BEC и AED.

Так как угол AEC является внутренним углом треугольника AED, то по теореме о сумме углов треугольника сумма углов AED и ADE также равна 180 градусов.

Но тогда получаем, что углы BEC и ADE вместе равны 360 градусов (сумма углов вокруг точки E), что невозможно. Значит, наше предположение о том, что прямые AB и CD пересекаются, неверно.

Таким образом, прямые AB и CD не могут пересекаться и параллельны друг другу.