Когда прямые из пересекающихся становятся параллельными?

Итак, допустим мы имеем две пересекающиеся прямые. Положим, что дело происходит в одной плоскости, т. к. прямые пересекаются, при развороте их они остаются пересекающими, а мы хотим их сделать параллельными.
Пусть мы вращаем одну из этих прямых вокруг некой точки. Точка не должна лежать на другой прямой, иначе прямые будут не параллельными, а совпадающими. Вот есть угол между прямыми, он больше нуля, т. к. прямые пересекаются. А угол можно определить, например, как отношение длины дуги окружности, стягивающей угол к радиусу окружности (см. рисунок)

При вращении этот угол изменяется, он может то увеличиваться, то уменьшаться. То есть по сути - угол линейно зависит от взаимного положения прямых, он и определяет это положение. Если мы начнём непрерывно, вращать прямые, сам угол будет изменяться тоже непрерывно. Иными словами, сколь угодно малому изменению положения прямых на плоскости соответствует сколь угодно малое изменение угла. Положение прямых на плоскости - визуальная характеристика, геометрическая. А угол - числовая характеристика. В элементарной и аналитической геометрии принято, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Иными словами, неверно, что угла между параллельными прямыми нет. Он есть, но он равен нулю. Вот в данном случае как только при вращении прямой угол между прямыми достигает нуля - происходит разрыв, вследствие чего прямые тут же становятся параллельными. Это можно объяснить невозможностью деления на ноль. Ведь деление на всякое число возможно - в результате получится вполне определённое число. А делить на ноль нельзя - это неопределённость. Отсюда в первом случае есть связь между прямыми - общая их точка, во втором такой связи нет - нет точек пересечения. А само расстояние определяется котангенсом угла между прямыми.

Котангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему. Вот если на прямых построить такой треугольник, а затем, уменьшать угол между прямыми, то противолежащий катет будет удаляться. Расстояние до него от точки пересечения и есть искомое расстояние. А отношение прилежащего катета к противолежащему будет всё время возрастать, стремясь к бесконечности. А тангенс, наоборот, определяет отношение противолежащего катета к прилежащему. Известно, что тангенс малого угла примерно равен самому углу. Это равенство тем точне, чем меньше угол. В пределе, если сам угол равен нулю, то и тангенс его равен нулю, а котангенс - это единица, делённая на тангенс. Так как тангенс равен нулю, то и получается деление на ноль. Такая неопределённость и показывает разрыв связей между прямыми и переходу положения прямых в новое качественное состояние.

Правильно рассматривать не "разворачивание" - такого понятия нет.
Всё это интересно только для геометрии Лобачевского.
Надо из произвольной точки на одной из прямой поднять перпендикуляр, который в точке пересечения со второй прямой образует вторую точку. Теперь необходимо двигать вторую точку по перпендикуляру, удаляя её от первой. При этом надо сохранять угол между прямыми и перпендикуляром.
Основной угол - это острый угол между перпендикуляром и второй прямой.
На определённом расстоянии точек получим фундаментальное расстояние геометрии Лобачевского для данного угла. Это расстояние взаимно однозначно соответствует углу параллельности. То есть на этом расстоянии всегда этот угол становится углом параллельности и прямые становятся параллельными.
При этом и будет происходить Ваше "разворачивание", так как угол между прямыми будет уменьшаться от исходного до нуля.

Когда точка пересечения убежит в бесконечность

Вопрос "на каком расстоянии произойдёт отрыв" не имеет смысла. Это примерно то же намое, что пытаться понять, что такое бесконечность в квадрате.

если все энто дело рассматривать в трехмерном пространстве то прямые становятся параллельными в том случае когда все точки одной из оси координат будут совпадать на обеях прямых

Бесконечность- это математическая абстракция. Модель. Это не число, и на какую-то конкретную точку, координату указывать не может. Разрыв произойдет бесконечно далеко (подразумевается наличие системы координат) . Но конкретной точки разрыва нет.

на расстоянии точек относительно которых поворачиваешь