В чем же заключается сложность доказательства теоремы Ферма?

Теорема Ферма уже доказана. Доказательство очень сложное. Элементарное доказательство никому не удалось, в этом и состоит острый камень.

Как ни парадоксально, сложность ее доказательства - в простоте ее формулировки. Сколько идиотов (в их числе и ваш покорный слуга) народила эта теорема! Например, я посоветовал бы отказаться от попыток доказать ее в двоичной системе счисления, хотя чего же не бывает в жизни!..

Сложность этой теоремы именно в том, что, при очевидной простоте её формулировки, для её доказательства пришлось привлечь области математики, которые вообще не существовали во времена Пьера Ферма.
Больше того, её доказательство стало следствием доказательства куда более общего утверждения, которое само по себе не очень-то понятно обычному человеку (не математику) . Но оно, это утверждение, зато хорошо показывает, что это лежит сильно за пределами школьной математики.

Если p — простое число, а E — эллиптическая кривая над полем рациональных чисел, то можно упростить уравнение, определив по модулю p; для любого конечного множества значений p можно получить эллиптическую кривую над конечным полем из элементов. Введём последовательность, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой . Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье) . Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.

Теорема о модулярности утверждает, что все эллиптические кривые над являются модулярами.