Как рождаются теоремы. Например как родились теорема Ферма и теорема Пуанкарэ?

Конец 19 -начало 20 века - уникальное время, в котором жило последнее поколение ученых - энциклопедистов- синергистов (те специалистов не в какой-то конкретной области, а во многих науках). Одним из таких гениев был французский ученый Пуанкаре.
огромный след оставил Николь Тесла.
Именно благодаря своему широкому кругозору они смогли приподняться над частностямми и рассмотреть многие вопросы в более общем плане, применяя методологию одной области знания в другой, иногда даже осмысляя их фиорсофски. Так, например, теорема Пуанкаре (об изоморфности всех существующих тел хотя и относится к области математики, но выводы из нее актуальны при рассмотрении теории Большого взрыва и вообще устройства Вселенной)
После них таких ученых практически не было. Даже академики были специалтзированы в каких-то конкретных областях. (Некоторое исключение составляют Келдыш и Капица)

Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1994 году Эндрю Уайлсом (доказательство опубликовано в 1995 году).
----------------------------------
Немногие математические теории так взволновали далекую от абстрактных геометрических рассуждений общественность, как эта. Гипотеза Пуанкаре, выдвинутая в 1887 году французским математиком Анри Пуанкаре, уже более сотни лет не давала покоя ученым разных стран. Ею заинтересовались не только геометры, но и физики, и даже… спецслужбы. Поэтому такую сенсацию вызвало сообщение о том, что секрет гипотезы, над которой ломало голову столько светлых умов, наконец, раскрыт, и теорема Пуанкаре доказана. Масла в огонь народного интереса подлил и тот факт, что доказавший теорему ученый – российский математик Григорий Перельман – в 2006 году отказался от присужденной ему Филдсовской математической премии (и сопутствующего ей миллиона долларов). - Читайте подробнее на FB.ru: http://fb.ru/article/51260/gipoteza-puankare-i-intrigi-vokrug-nee

Ученые сидят, и думают над какой-то определенной темой, пока в голову не придет какая-то идея.

без бабки повитухи полюбому не обошлось.