Решите эту систему с помощью счетной планиметрии

а тригонометрия за планиметрию канает? если да, то на ум приходит координатная окружность и соответствующий треугольник, который подсказывает замену:
x = √10 cos A
y = √10 sin A
тогда первое уравнение удовлетворяется автоматически, а второе уравнение даст:
10 cos A sin A = 3
5 sin 2A = 3
A = 1/2 arcsin (3/5)
и получаем неприглядный ответ:
x = √10 cos (1/2 arcsin (3/5))
y = √10 sin (1/2 arcsin (3/5))
ну, и второй:
x = √10 cos (1/2 (п - arcsin (3/5)))
y = √10 sin (1/2 (п - arcsin (3/5)))

что есть "счетная планиметрия"?

да, меня в гугле забании, а вас думать где забании?

Счётная палата на Зубовской улице в Москве ответила без предварительного прорешивания, что х*у могут быть только 1 и 3. Как раз получилось у них 1² + 3² = 10

В наши школьные годы это не называли так заумно ("решить с помощью счётной планиметрии"), а просто "решить графически, геометрически, путём геометрического построения").
Один из способов указал Чайковский в комментах: построить окружность радиусом √10 (надеюсь, автор сможет это) и гиперболу ху= 3 - точки пересечения дадут ответ.
Что касается построения гиперболы, вовсе не требуется расчёт координат точек - имеется геометрический способ построения точек с помощью циркуля и линейки; его можно найти, например, в учебниках по черчению (после нахождения достаточного числа точек они соединяются аккуратно с помощью лекал).
Кстати, для конкретно данной задачи первая же точка даёт решение х= 1 и 3, у= 3 и 1.
Есть способ, позволяющий решить задачи этого вида лишь циркулем и линейкой, без применения лекал; но он требует предварительного алгебраического решения системы, что не устраивает автора.

Что, блин, за счетная планиметрия такая? Речь о проективной плоскости над счетным полем, что ли?

Одно решение (1, 3) угадывается, еще три получаем, действуя на него группой симметрий, больше решений быть не может по т. о задании коники пятью точками.

На проективной плоскости над F, где F - подполе поля алгебраических чисел, других решений нет. Замечу, что при таком условии F содержит Q в качестве подполя.
С другими счетными полями сам возись - там и поля конечной характеристики есть, и много всякой ерунды. Не уверен, что вопрос об этом..

{x²+y²= 10,

{x²y² = 9 .

x² и y² корни уравнения

t² - 10t +9 =0 ⇒ t₁ =9 ; t₂= 1.

{ x²=9; {x=±3 ;

{y² =1 . {y =±1 .

ответ: (-3 , -1) ; (-1 , -3) , (1, 3) , (3, 1)

Планметрия дело не легкое в конце месяца решим план приходите в конце месяца мы вам план сдалим