Как доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентам счетно??

Для доказательства используется теорема, что объеднинение не более чем счетного числа счетных множеств счетно.

Итак, очевидно, что множество многочленов степени n для любого натурального n (непосредственно следует из теоремы, приведенной выше)

Далее. Количество всех многочленов - лбъединение многочленов степени 1, 2, 3....то есть счетно. Тогда по приведенной теореме количество всех многочленов - счетно

P.S. используемая теорема доказывается как и эквивалентность множества натуральных числе и множеству рациональных

P.S.S. касательно предыдущего ответа.... "Объединение любого количества счётных множеств " - строго говоря, неверное утверждение.... ведь если мы объединим несмчетное количество счетных множеств, то результат может и не быть счетным... примером тому служит множество действительных чисел из интервала (0,1). Каждое из них - набор из цифр. Но объединение цифр не дает нам счетного множества; )

P.S.S.S. ну, говоря ЛЮБОЕ.... оно все же люое.... и это число... значит, оно не может быть счетным???; ) к несчастью, мы объединяем именно счетное количество счетных множеств, так как доказываем про множество ВСЕХ многочленов)))

Множество возможных коэффициентов перед одним членом - есть счётное множество. Количество членов в многочлене конечное число. Сумма членов любого количества многочленов есть конечное число. Объединение любого количества счётных множеств есть счётное множество. То есть можно показать для любой степени N многочлена, что множество возможных коэффициентов - счётное множество. Опять число степеней до N счетно, поэтому множество всех многочленов до N (с рациональными коэфф. ) счетно. Чтд.

Ответ последующему ответчику:
Несчетное количество - это только у Вас в мозгу есть такое понятие. Количество означает число.