В чём смысл счётных и несчётных множеств. Какое значение это имеет для математики?

Смысл в том, что многие свойства, верные для счётных множеств, оказываются неверными для несчётных. Поэтому никак не различать множества, содержащие бесконечное число элементов, было бы очень неудобным для математики.

Например, любые два счётных множества можно сопоставить друг другу взаимно однозначным соответствием. Классический тому пример: множество натуральных и рациональных чисел (на первый взгляд это кажется невероятным). Для счётного и несчётного множества такого соответствия не существует, и даже далеко не для всех двух несчётных множеств.

Вот тут и просматривается аналогия с рациональными и иррациональными числами: например, сумма любых двух рациональных чисел всегда рациональна, одного рационального и одного иррационального - всегда иррациональна, а для двух иррациональных чисел может быть и так и этак.

Кроме того, значение деления множеств на счётные и несчётные есть в элементарной теории вероятности: вероятностные законы для этих типов множеств совсем разные. Классическое определение вероятности уже разное для этих двух множеств. А раз разные фундаменты, то и вся базирующаяся на них теория будет разной, хотя и похожей.

"Я вот считаю" – да ради бога. Тут ведь как в географии: считаю, што нахрен не нужно – и путаю Уругвай с Парагваем. Им-то от этого ни жарко ни холодно.

Если принять среди постулатов ЛЮБОЙ математической теории неверный постулат, то не будет возможным сделать ни одного однозначного вывода. Т. е., например, можно будет доказать, что 2*2=4 и одновременно можно будет доказать, что 2*2≠4.