Планиметрия. Как доказать?

Доказательство от противного. Допустим, что КО не диаметр малой окружности, а хорда, отличная от диаметра. Тогда она встречается с малой окружностью в точке К под не прямым углом. А значит и с большой встречается не под прямым углом (они же в этой точке касаются одна другой). А значит О не центр большой окружности. Что противоречит условиям задачи.

Проведите касательную КМ к обоим окружностям. Пусть центр малой окружности О1. КМ перпендикулярен и ОК, и О1К (Теорема: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания). Отсюда следует, что О1 лежит на ОК (Теорема: из одной точки на прямой можно восстанавливать лишь один перпендикуляр к этой прямой). Значит, ОК есть диаметр малой окружности.

Скорее всего у меня не доказательство, а тут рассуждения. Приведу их:

Пусть имеются две окружности с центрами O1 и O2 - и пусть касаются они внутренним образом в некоторой точке K. Для доказательства вашего утверждение необходимо понять, что такое внутренние касание. Обозначим r1 и r2, соответственно, радиусы выше указанных окружностей. Если касаются внутренним образом, то вторая окружность лежит в первой окружности, что легко описать неравенством 0 < r2 < r1. Теперь нам необходимо доказать самое очевидное: KO - диаметр меньшей окружности. Для этого проводим прямую из точки O1 (O) в точку касания обеих окружностей K. Где бы ни находилась вторая (меньшая) окружность, ясно, что прямая O1O2 лежит на той же прямой O1K. Следовательно, точки O1, O2, K лежат на одной прямой. Из этого следует, что прямые O1K и O1O2 являются параллельными прямыми. Хорошо, рассмотрим отрезок O2K e O1K (принадлежащий нашей прямой) Очевидно, что он является радиусом меньшей окружности, т. е. |O1K| = r2. Так как прямая O1K является радиусом большей окружности. Пользуясь тем, что вторая окружность проходит через центр первой окружности заключаем, что 2|O1K| = r1, что позволит нам закончить логическое рассуждение: r2 = 2r1 = d2. Введя систему координат в точке O (для большего удобства). Очевидно, что в той же точке O будет начало системы координат x,y. Пусть в нашей системе координат точка O2 имеет координаты x1 и y1, а K имеет координаты x2 и y2. Находим вектор O1K(x2,y2). Его длина - длина нашей прямой O1K, которая равна радиусу большой окружности. Аналогично находим вектор O1O2(x1,y1). Также из выше изложенного следует, что векторы параллельны (коллинеарны), это влечет пропорциональность их координат, то есть найдется такое число k > 0, что имеет место равенства x2 = k * x1, y2 = k * y1. Кроме того, x2/x1 = y2/y1 = k. В нашем случае, это число равняется двум, что очевидно из чертежа. Следовательно,

r2 = r1/2 = sqrt(x2^2+y2^2)/2 = ksqrt(x1^2+y1^2)/2 = sqrt(x1^2+y1^2).