Как происходит адаптация организма?

Коротко говоря, адаптация ОРГАНИЗМА вообще не происходит: в современной биологии различают адаптацию и акклиматизацию.
Организм может акклиматизироваться, реагируя на изменения (в некоторых пределах) окружающей среды. Этот регуляторный механизм сам по себе в эволюции вида не участвует.

Адаптация же относится ни в коем случае не к отдельному организму. А к популяции, к общности представителей одного и того же вида. Происходит она примерно следующим образом.

Если (например, из-за изменений окружающей среды) возникает жёсткий отбор по какому-то признаку, то в популяции могут выжить и оставить потомство особи, от рождения обладающие признаками, наиболее адекватными этим новым условиям.
Сами же признаки появляются всегда, при рождении, в любом поколении особей, составляющих популяцию, и происходит это из-за так называемой изменчивости.

Так, в условиях города, оперение голубей демонстрирует широчайший разброс по цвету: есть и сизые, и белые, и рыжие, и почти чёрные, и бежевые, и пёстрые, и крапчатые... Поскольку хищные птицы не решаются селиться в столь шумном и многолюдном месте, среди городских голубей отсутствует жесткий отбор по этому признаку.

Если город покинут жители, то он достаточно быстро окажется наводнён естественными врагами голубей. И вот тогда, в течение нескольких поколений, останутся только сизые (серые) голуби, предки которых, имея от рождения покровительственную окраску, с наименьшими потерями перенесли нашествие хищных птиц.

Если бы это произошло, то биологи сказали бы: при изменении окружающей среды городские голуби адаптировались к этим новым условиям и обрели наиболее адекватное этим условиям свойство: сизую окраску оперения.

Но это ведь не значит, что белые (или рыжие) голуби хором вдруг стали сизыми!
Их просто "выпилил" отбор, который вновь возник в ходе изменений окружающей среды. Оставив тех, кто от рождения был сизым, коль скоро до возникновения отбора цвет перьев не имел значения.

А вообще есть популярные лекции, например, Станислава Дробышевского на эти и сходные темы: "Адаптации в эволюции человека"
https://www.youtube.com/watch?v=S-CDgMXJdCY
или "Теория эволюции". Об адаптации видов:
https://youtu.be/sA1W8ovKUq4?t=6230
Если в самом деле это всё вас интересует - посмотрите их.

"как эти более приспособленные стали такими "приспособленными"

Они не стали, они
... выжили.
В любой популяции один смелее, другой трусливее, один тёмненький, другой светленький, у десятого печень увеличена, у двадцатого... сердце хорошо только при повышенном давлении работает.

Но, главное один сильнее, другой умнее.

Живой организм полностью охвачен регулировками разных параметров в нем-температуры, обмена веществ и т. д. Регулировка происходит путем "шарахания" от одной крайности к другой. Но, происходит это часто и очень быстро. Поэтому создается впечатление, что параметр стоит на месте. Вот, так и температура. Если она понизилась, организм сразу включает "обогреватель",чтобы ее поднять. Если повысилась, включается испаритель, в виде пота и т. п. Вот, природа и отбирает наиболее устойчивые экземпляры в таких меняющихся условиях. Постепенно, ИЗМЕНЯЮТСЯ УСТАНОВКИ прежних параметров, в сторону большего комфорта в новой среде. А то, что не успело отреагировать на это, отмирает. Как-то так...

Это сложный вопрос, нужно тебе объяснить весь эволюционный процесс, а он очень длительный... Проще сказать, что окружающая среда влияет на животное и у него начинают работать определенные рецепторы активнее других, те, что длительное время не работают, постепенно исчезают по ходу эволюции, активных же наоборот - становится больше. Например, возьмем лемура, у него длинный хвост, если в течении тысячи лет тянуть его за хвост, то позвонки будут вытягиваться, и может случиться так, что последующие поколения будут с более толстым и длинным хвостом, но если бить лемура пл ушам в течении тысячи лет, то они могут у него окостенеть и лемур будет рождаться с толстыми и прочными ушами, а если топить лемура в течении тысячи лет, то род лемуров прервется, никакие жабры не появятся.