Для чего нужны кватернионы?

Как исторический артефакт. Комплексные числа вполне можно заменить на вектор или матрицу. Многие конструкции используют в силу традиции или удобства. Кватернионы непривычны и неудобны.

Кватернионы с вычислительной точки зрения удобнее триганометрии в некоторых приложениях. И это мощная хрень при решении диффуров в пространстве. А вообще - это одно из расширений чисел, и изучется в частности из-за фундаментального интереса, а не потому что оно для чего-то понадобилось.

Работая на плоскости с векторами, нам требуется ввести базовые операции увеличения их длины (модуля) и поворота на определенный угол (остальное само добавится). Всё это успешно даёт сложение и умножение комплексных чисел. Хотелось бы применить такой лайфхак и к работе с векторами в пространстве, но там поворот является суперпозицией поворотов в трех плоскостях (xy, yz, zx). Именно поэтому для 3D удобнее пользоваться числами с тремя "мнимыми" единицами, а это и есть кватернионы.

Удобно, когда у тебя помимо умножения есть согласованные с ним сложение и умножение на скаляр. Т. е. ты по-любасу группу вращений вкладываешь в линейное пространство, точнее, в ассоциативную алгебру - что в случае с матрицами, что с кватернионами.

Матрицы 3х3 дают тебе девятимерную алгебру над R, а кватернионы - всего лишь четырехмерную.

Ну, чтоб ты не думал только о вращениях, можно и что-нибудь весьма странное вапомнить - например, теорема Лагранжа о четырех квадратах из теории чисел очень красиво доказывается через целочисленные кватернионы.

А вообще, векторы E3 интуитивно легко представляются кватернионами, вращения - тоже интуитивно легко. А дальше совсем клёво, но не интуитивно - вращающий кватернион ("версор") задает внутренний автоморфизм тела H, который при действвии на кватернион-"вектор" как раз этот вектор и вращает. При этом кватернионы с модулем 1 обращаются тупым аналогом компллексного сопряжения, тем они и удобны в качестве "версоров" .

А кто вам сказал, что один язык исключает другой? Кватернионы удобны тем, что каждый кватернион — это пара комплексных.

Неэтично поворачивать векторы матрицами 3х3, этично поворачивать их матрицами 4х4.

Сделать это можно так.
Берем матрицы Паули с третьей по первую, домножаем их на мнимую единицу, получаем представление единичных i, j, k кватернионов в виде комплексных 2x2 матриц.
Далее, каждое число в полученных матрицах представляем в виде блока, вещественной матрицы 2х2. Получаем представление кватернионов в виде вещественных 4х4 матриц.

Вектор для вращения тоже представляем в виде вещественной матрицы 4х4. Далее, для поворота перемножаем три матрицы 4х4. Полученная матрица задает образ вектора в E3 при повороте. Восстанавливаем из нее координаты вектора.

Поворот завершен.