Если набрать ванну вылить туда 1 литр раскаленной лавы 1200 градусов,вскипятит ли лава воду?

Нет, не вскипятит, так как часть воды выльется из ванной через отверстие, которое проплавит лава в днище ванной.

1 литр лавы весит чуть меньше 3 кг. Теплоёмкость лавы - фиг знает, но можно для определённости взять её равной теплоёмкости оксида кремния. Всё равно там по химическому составу минимум половина тот самый оксид. Удельная теплоёмкость SiO2 при температуре 1200 град. составляет 1281 Дж/(кг*К), причём по мере падения температуры она тоже падает, так что СРЕДНЕЕ значение удельной теплоёмкости в интервале 0 - 1200 град. составляет 1100 Дж/(кг*К).
В итоге от трёх кило раскалённой лавы при перепаде температур в 1200 градусов (фактически чуть меньше, ну да ладно, всё равно расчёт чисто прикидочный) удастся слупить 1200*1100*3 = 3960 кДж.
Набранная ванна воды - это примерно 300-400 литров воды. Ну пусть 300. То есть = 300 кг. Удельная теплоёмкость воды равна 4,18 кДж/(кг*К), так что полная теплоёмкость всей ванны составляет 1254 кДж(кг*К).
Значит, 3960 кДж смогут нагреть ванну воды примерно на 3 градуса. И вся любовь.

Расчёт не выходит за пределы седьмого класса средней школы...

простые расчеты дают ответ нет

Возьми объём ванной, высчитай, сколько калорий нужно, чтобы довести до кипения этот объём. Возьми теплоёмкость камня (это и будет теплоёмкость лавы), вычисли, сколько калорий там при температуре 1200 градусов, и сравни. Я не считал - но думаю, что не хватит, будет просто большой пшик...

А откуда следует, что лава не прожжет дырку в дне ванной? Особенно если ванна пластиковая?

А если заливать лаву медленно и аккуратно, то вряд ли. Предположим, что лава -- это расплавленный гранит. Литр гранита весит чуть меньше трех килограммов. Для ровного счета округлим до трех. Емкость ванной, опять-таки для ровного счета, возьмем 150 литров (т.е., 150 килограммов воды -- ровно в 50 раз больше, чем масса лавы).

Удельная теплоемкость гранита (790 Дж/(кг·К)) примерно в пять раз меньше, чем у воды (4181 Дж/(кг·К)). То есть тепла, выделенного одним килограммом гранита при остывании на один градус, будет достаточно для того, чтобы нагреть килограмм воды на 0.2 градуса.

Теперь спрашиваем себя: если три килограмма лавы остынут на 1200 градусов, насколько это нагреет 150 килограммов воды? Воды в 50 раз больше, ее удельная теплоемкость в пять раз выше, то есть перепад температуры воды будет в (50 * 5) = 250 раз меньше, чем остывание лавы. Примерно 4.8 градуса.

Это без учета удельной теплоты плавления лавы. Но она меняет картину на проценты, а не в разы. Если склероз не изменяет, удельная теплота плавления гранита -- порядка 350 кДж/кг, то есть энергия, необходимая для расплавления уже нагретого до температуры плавления гранита, примерно того же порядка, что энергия, необходимая для нагрева твердого гранита на 500 градусов. То есть если лава жидкая, запасенное ею тепло вырастет процентов на сорок...

Если ванна полная воды, то лава даже успеет остыть, т.к. в ванне около 200 литров воды.

ну часть воды точно вскипятит, но далеко не всю)