По квадратичной форме симметричную билинейную все умеют восстанавливать, а как по кубической восстановить симметричную

В Ваших обозначениях формула будет выглядеть так:

6f(x,y,z) = C(x+y+z) – C(x+y) – C(x+z) – C(y+z) + C(x)+ C(y)+C(z).

Если подставить везде вместо С(*) выражение через f(*,*,*) и раскрыть по линейности, то напрямую проверяется, что это действительно верное равенство.

Для случая n-форм выражение аналогично. Слева будет n! f(x_1,…,x_n). Справа же сначала идет C(x_1+…+x_n), потом вычитаем значения С от всех возможных сумм по n-1 различных слагаемых потом прибавляем значения С от всех возможных сумм по n-2 различных слагаемых, потом вычитаем … и т.д. Доказательство этой общей формулы требует некоторых комбинаторных рассуждений. Его можно найти здесь https://math.stackexchange.com/questions/481167/polarization-formula

Ну, если подумать о формулах сокращенного умножения, то произведение xyz через линейную комбинацию кубов можно так выразить.
Находим коэффициенты в ЛК трех многочленов, такие, чтоб ЛК давала только xyz-моном;
p1 = x^3 + y^3 + z^3
p2 = (x + y - z)^3 + такие же с перестановкой переменных по циклу
p3 = (x + y + z)^3

Получаем:
24xyz = (x + y + z)^3 + (x - y - z)^3 + (y - z - x)^3 + (z - x - y)^3
И для симметричной 3-линейной формы должно получиться аналогично, там же скобки так же раскрываются:
24*f(x, y, z) = C(x + y + z) + C(x - y - z) + C(y - z - x) + C(z - x - y)

Проверь. Для n-линейных форм задача наверняка как-то в общем виде решается, но я что-то навскидку решения не припомню.