Через сколько времени остынет раскалённое ядро в космосе?

Ядро в космосе остывает исключительно за счёт излучения. Мощность, излучаемая нагретым телом, считается по закону Стефана-Больцама как P = σST⁴, где S - площадь поверхности тела, σ - постоянный коэффициент для этого закона (гуглим, чему он равен), Т - абсолютная температура. Вот она-то и меняется.

Изменение температуры за время dt связано с отдачей тепла как dT = dQ/(C'M) = -Pdt/(C'M), где C' - удельная теплоёмкость материала ядра, M - масса ядра, dQ = -Pdt - изменение его внутренней энергии. Учтено, что при положительной мощности излучения изменение внутренней энергии тела отрицательное (оно теряет тепло). Тут предполагается, что ядро остывает равномерно по всему объёму и поэтому его температура однородая. Не хватало ещё решать ДУ для теплопроводности...

Но кроме теплоотдачи, есть и теплоприток. Космос - это не абсолютный ноль, у него есть определённая температура. Для совсем далёкого межзвёздного космоса это 2,73К (температура реликтового излучения). Для околоземного космоса это примерно +160 градусов (или примерно 430К). Причём теплоприток за счёт излучения считается по той же формуле, просто вместо температуры тела надо подставить температуру космоса. Так что помимо теплоотдачи, будет и теплоприток Pₒ.

Так что общий тепловой баланс ядра в космосе можно выразить вот таким уравнением:

dQ/dt = Pₒ - σST⁴.

В итоге, с учётом того, что dT = dQ/(C'M), для температуры тела получается такое вот дифференциальное уравнение:

dT/dt = (Pₒ - σST⁴)/C'М

Вольфрам-Альфа в помощь.

Ну, в космосе можно охлаждаться разве что излучая. Время зависит от площади поверхности этого ядра и его температуры.

По некоторым оценкам, охлаждение ядра Земли занимает десятки миллиардов лет, или целых 91 миллиардов лет. Это очень много времени, и на самом деле Солнце, скорее всего, выгорит задолго до ядра - примерно через 5 миллиардов лет.