Может ли масса быть отрицательной?

Хм. Для начала - которая из масс?
В механике, разработанной Галилеем и Ньютоном (а в последствии - ещё некоторыми корифеями) их, вообще-то ДВЕ.

Инерционная. Которая F = ма
И гравитационная. Которая входит в известное выражение F = Gm1m2/R^2.
И которые массы (почему-то) в точности равны для любого объекта, обладающего массой. Именно поэтому система, свободно ускоряющаяся в гравитационном поле, ведёт себя так, как если бы никакого ускорения и гравитации не существовало.

Эти два закона не следуют друг из друга и являются описанием разных явлений.

Инерционная отрицательная масса выглядела бы очень странно: она с удовольствием нарушала бы законы сохранения. Ускорялась бы там, где положительная масса замедлялась. И наоборот.
Таких объектов не обнаружено.

Что до отрицательной гравитационной массы, то она демонстрировала бы отталкивание там, где положительная гравимасса показывала бы привычное притяжение.
Таких тоже не обнаружено.

Нет.

Существование вещества с отрицательной массой теоретически возможно (ЕМНИП такая возможность следует из каких-то решений уравнений Максвелла), но практически его пока никто не создал. А жаль - это бы позволило создать варп-двигатель и сделать возможными межзвездные полеты.

Масса - это свойство энергии. Грубо говоря, масса равна энергии. Может ли вакуум обладать отрицательной энергией? То есть, существует ли такая энергия, которая будет не понижать электрическую жёсткость вакуума, а повышать?

Если принять, что любая энергия - это электромагнитная волна, а электромагнитная волна - поляризация вакуума, то поляризация может только уменьшать электрическую жёсткость вакуума. То есть, отрицательной массы не бывает.

Не?)

Отрицательную массу можно использовать для похудения: покупаешь эликсир отрицательной массы - сколько выпьешь, на столько похудеешь.

в России всё может быть отрицательным

Конечно.
... но только в фантастике.
Это примерно, как отрицательная каша.
Гречневая.

биомасса может любое!

Нет.

Гравитационная и инерционная массы равны друг другу из-за одинакового механизма взаимодействия объектов в столкновениях, в результате которых меняется их скорость. Различие только в частицах. участвующих в столкновениях. Так называемая "гравитационная масса" - это та же самая инерционная масса, но приобретающая ускорение в результате столкновения с гравитонами гравитационного поля.
Отрицательную массу можно ввести в теорию расширяющейся вселенной, где она будет фигурировать во взаимном отталкивании объектов из-за движения частиц представляющих собой "тёмную энергию"

Нет

если только в гробу масса тела

Нет вроде... Нет

В квантовой физике только

Сам подумай