Как доказать, что нельзя создать механическую модель, у которой никогда не может существовать положение равновесия ?

вечных двигателей существовать не может, равновесие может быть неустойчивым и устойчевым. Если устойчивое состояние существует механическая система рано или поздно к нему придет, это же очевидно.

равнозначная система стремится к равновесию

Давайте для наглядности рассмотрим самый простой случай: шарик катится по дороге. В этой системе всегда существует такое положение шарика, при котором он никуда не будет катиться, например, локальный минимум (если представить дорогу как функцию высоты). Какую бы дорогу мы не нарисовали, всегда будет какое-то её самое низкое положение. То же самое работает и с любой другой механической системой: у неё есть положение, отвечающее за минимум потенциальной энергии. Если мы говорим о существовании системы, которая никогда не может занять положения равновесия — то нам придётся признать, что у этой системы минимум потенциальной энергии уходит к минус бесконечности. Такое представить трудно в ограниченных и неидеальных условиях Земли или даже Вселенной.

Что значит "никогда"? У модели либо есть положение равновесия, либо его нет (и во втором случае координатное пространство вашей модели не компактно - потенциальная энергия, вроде как, зависит от координат непрерывно).
Если наличие положения равновесия предполагается зависящим от времени, то это, вроде как, не модель, а семейство моделей, параметризованное временем.

Земля летит по спирали и крутится вокруг своей оси - всё двидется

Доказать, что ты не терпила.