Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длины l) находится в положении равновесия. .

Обычно дают эту задачу, уточняя: строго по окружности и по любой траектории. Соответственно и энергии получаются разные: в первом случае 5/3mgH, во втором достаточно просто mgH: здесь высота — двойной радиус оборота, его диаметр. Надеюсь, решение найдёшь самостоятельно

Давайте сначала разберемся, в чем разница между стержнем и нитью в этой задаче. В случае стержня достаточно, чтобы груз в верхней точке имел как угодно малую скорость -- ну почти ноль. Тогда он провернется и сделает полный оборот. Но в случае нити ситуация другая. Чтобы груз сделал полный оборот, нить должна быть всё время растянута -- хотя бы немножко. Иначе груз просто перестанет двигаться по окружности. Когда груз в верхней точке, то не его скорость может быть почти нулем (как в случае стержня), а _натяжение нити_ может быть почти нулем. Но для этого груз должен иметь в верхней точке ненулевую скорость (а какую именно -- сейчас посчитаем)!

Случай со стержнем -- проще: его легко решить на основании одного только закона сохранения энергии. В нижней точке кинетическая энергия груза равна (m*v^2)/2, а в верхней, где скорость груза равна нулю, его потенциальная энергия равна mg * 2l. Отсюда (m*v^2)/2 = m*g * 2l, и мы находим v = 2 * sqrt(g*l).

Теперь -- с нитью. В верхней точке груз удерживается "на орбите" центростремительным ускорением, которое складывается из силы тяжести и силы натяжения нити. Минимальная допустимая скорость для груза -- такая, что _всё_ центростремительное ускорение создается только силой тяжести, а нить не растянута. Иначе говоря, минимальная скорость в верхней точке вычисляется из условия (v_min)^2 / l = g. Отсюда v_min = sqrt(g*l). Теперь и здесь можно применить законо сохранения энергии: (m*v^2)/2 = mg * 2l + (m*v_min^2)/2. Отсюда v = sqrt(5*g*l).