Cкажите пожалуйста, что в формулах обозначают нижние индексы, например U₀, I₀? То есть напряжение и ток, но зачем там

Для разделения одного и того же понятия, но для разных элементов или в разной форме. К примеру, напряжение. Может быть амплитудное, действующее, среднее, на элементе одном, другом, третьем и т.д. Это всё напряжение, и оно обозначается одной буквой, но их нужно различать. Конкретно тут обычное U - мгновенное, U0 - амплитудное.

Приведенная Вами формула описывает изменение напряжения U во времени t, иными словами, приводит зависимость напряжения от времени. При этом U - текущее значение напряжения в любой момент времени t, а U с индексом 0 внизу - значение этого напряжения в момент, когда время t равно нулю. В данном случае это описание переменного синусоидального напряжения, которое у всех у нас в розетках.
Чтобы по этой формуле вычислить напряжение в любой момент времени, нужно подставить вместо t то его (времени) значение, которое прошло с момента начала процесса, а Uнулевое должно быть известно.

Для экономии
... бумаги.
Затем, чтобы не писать
Uисточника эдс = Uна конденсаторе + Uна индуктивности.
А короче
U =Uc + Ul

Начальные значения. В данном случае - величина напряжения в начальный момент времени (при t=0)

Где вы тут нашли верхний индекс-то? Нет здесь никаких верхних и нижних индексов, накаких тензоров и прочей ерунды, нолик снизу обозначает амплитудную величину. И всё.

И, ксиати, насчеи начальных значений: у вас начальное значение U нулевое, поэтому начальные значения тут не канают.