При падении тело той же массы тяжелее (см. пояснение)?

Процесс Вы описали верно, но немного напутали в терминах. Тяжесть и вес - не одно и то же. Тяжесть, или сила тяжести - это та сила, с которой тело притягивается другим, более массивным телом. Вес же - сила, с которой притягиваемое тело воздействует на связь, мешающую ее перемещению - опору, подвес и т.д. Поэтому на орбите тела удерживаются силой тяжести (иначе они улетели бы по прямой), а вес отсутствует, так как опора обращается вместе с телом, фактически, постоянно падает вместе с ним. То же самое - в падающем лифте. И лифт, и всё, что в нем находится, падает под действием силы тяжести, при этом внутри лифта предметы будут в невесомости.
Далее рассмотрим явление перегрузки. Если тело движется с ускорением (прямо или по кривой), то кроме ускорения силы тяжести на опору действует дополнительная сила (второй закон Ньютона). При этом говорят, что вес увеличивается, а тяжесть остается той же самой. Просто кроме тяжести предмета на опору начинает действовать дополнительная сила.
Теперь рассмотрим вариант с весами. На одной чаше лежит предмет, он давит на чашу своим весом. Больше никаких сил нет. Другой предмет падает, то есть, в момент касания чаши он имеет некоторую скорость, которую весы гасят до нуля за непродолжительное время. Если скорость тела в момент касания чаши разделить на время торможения, мы получим ускорение (обратное), с которым весы затормозили тело. А раз есть ускорение некоторой массы, значит, на нее действовала сила. И величина этой силы будет равна тому перегрузу (перегрузке), которую покажут весы.
Когда тело относительно весов остановится, перегрузка прекратится, и весы встанут в положение равновесия.

если весы правильные и точные, например аналитические весы для химической лаборатории, при укладке груза их стопорят, и всё равно никто ничего не бросает. А то что вы описали называется инерция. В пятом классе рассказывают. Сила есть масса на ускорение. Груз тормозится на весах вот вам дополнительный вес. Потом возникают колебания потом система успокаивается за счет трения.

Да, именно так. P = m(g - a) векторно.
Пока груз ускоряется (при взаимодействии с весами) вверх, его вес больше обычного mg.

Насчет того, что тяжелее, я не знаю. При ответе на вопрос "что тяжелее, кило пуха или кило свинца" многие почему-то стараются сравнивать эти килограммы по весу, а не по другой величине.