Какой физический смысл у действия?

В рамках классической механики физ. смысла ему вроде так и не придали (пытались что-то через аналогии с оптикой сделать с уравнением Гамильтога-Якоби). С появлением квантмеха выяснилось, что действие грубо можно назвать фазой волновой функции.

Это некоторая метрика движения тела для оценки функции траектории от координат и оценки функции скорости движения по данной выбранной траектории.

Чем эта метрика принимает меньше значение, тем больше вероятность того, что частица полетит из точка А в точку В по данной выбранной траектории с данной выбранной функцией скорости. Если вы фиксируете траекторию и перебираете на ней разные функции скорости, то самая вероятная функция скорости будет та, которая дает минимум действия. Аналогично, если вы фиксируете функцию изменения скорости и перебираете все траектории, которые ведут из точки А в точку В, то самая вероятная траектория будет та, которая дает минимум действия на ней. И в самом общем случае вам надо минимизировать метрику действия для всех возможных функции траекторий и функций скоростей с выбранными граничными условиями (начальными и конечными координатами и скоростями).

Если все возможные функции траекторий и все возможные функции скоростей (точнее, импульсов) представить, как точки (точнее, векторы) функционального пространства, то действие будет некоторой функцией от точек этого пространства (точнее, функционал). И окрестность минимума этой функции задает распределение вероятности движения частица из точки с известными начальной координатой и начальной скоростью в точку с известной конечной координатой и конечной скоростью. (В квантовой механике есть нюансы связанные с соотношением неопределенности, отвлекаться на которые здесь не будем.)

В классической механике это распределение вероятностей вырождается в дельта-функцию. То есть с вероятностью 1 будет возможна только одна функция траектории и только одна функция скорости при переходе тела из одной точки фазового пространства в другую.