Какой вред несет автомату выключенная передача на ходу (производители не рекомендуют, но и не запрещают)

потенциальный вред здоровью и имуществу несёт потеря автомобилем курсовой устойчивости при отключении привода, а непосредственно автомату никакого

Да им по барабану, как ты коробку по дороге потом собирать будешь, попробуй, если машину не жаль

Везде есть первичный и вторичный валы. Сцепление лишь связывает первичный вал с двигателем, а передачи объединяют 2 вала, независимо вращающихся друг от друга на нейтральной передаче. На МКПП при выключении или включении передачи без выжимания сцепления повреждаются шестерни и шлицы валов, почти то же происходит на АКПП при включении на ходу нейтральной передачи, если таковая имеется, но это не обязательно так и скорее больше относится к последующему переходу с нейтрали, т. к. АКПП может включиться автоматически на передачу, не соответствующую скорости, скажем не на 5, а на 2 или 3, а это приведёт к выходу из строя АКПП. Но основной момент, почему это не рекомендуется - это движение по скользкой поверхности. Резкая разгрузка ведущей оси может привести к возникновению заноса, а в случае с включением нейтрали на АКПП на ходу это происходит более резко, чем при выжиме сцепления на МКПП. Кроме того, вообще не стоит на нейтрали входить в повороты, тем более, если дорога скользкая.

Автомату - пофиг.
Не включай только на ходу режим лоу, или слоу, диски потоков подгорают, слегка.
Режим драйв можно включать когда угодно.
Режим реверс при движении вперёд включать категорически не рекомендуется, опять же подгорают диски.
Категорически не рекомендуется включать режим паркинг на ходу - поломка обеспечена.

Опять же нет никакого криминала, просто маслице сбрасывается до пакета фрикционов, делов то.

не советую