Бывают ли троллейбусы которым не нужны провода над головой, которые ездят на АКБ, а ночью в парке подзаряжаются.

Таких нет, просто аккумуляторов такой огромной ёмкости по разумной цене пока нет. Ещё в 70-е годы в журнале Юный Техник или Техника-Молодёжи читал про экспериментальные троллейбусы, которые сделали немцы-вместо аккумулятора у них стоял так называемый супермаховик. То есть нечто вроде большой юлы, которая на конечных остановках раскручивалась электромотором, для этого у троллейбуса были выдвижные рога-токоприёмники. Водитель на конечной остановке этими рогами цеплялся к источнику напряжения, раскручивал маховик, и потом ехал по маршруту. Электромотор, который раскручивал маховик, начинал работать как генератор и питал электричеством троллейбус. Но дальше экспериментов дело не пошло. Супермаховик был изготовлен из пластика, не как монолит, а склеен из ленты, чтоб не разорвался на куски, как бомба. Вращался в корпусе, в котором был создан вакуум для уменьшения потерь на трение о воздух, и раскручивался до нескольких сот тысяч оборотов в минуту.

Это уже не троллейбус будет, а автобус на электротяге. Нет таких - ещё не изобрели аккумуляторы нужной ёмкости, чтоб на весь день хватало.
А вообще, по центру Рима бегают электрические Мерседесы Спринтеры в качестве общественного транспорта.

Есть троллейбусы на автономном ходу ездят, но недолго часа 3. Тролики описанные вами нету.

Сзади, на прицепе, надо ещё один троллейбус возить, с аккумуляторами.

ты что?! Как подлодка! Так ...сколько бы миллионов баков этот "троллейбус" стоил что бы пенсионеров развозить.