должен ли работодатель платить зарплату не оформленному сотруднику

Не должен, по сути он может просто сказать что впервые вас видит, или скажет что вы сами сказали что будете работать без оплаты, вот так вот :)

Оплатить ваш труд он обязан. И вообще, в ТК нет понятия "стажировка" - есть "испытательный срок". Вам надо обязательно заполучить этот журнал, т. к. он может подтвердить факт вашей работы, кроме того этот факт могут подтвердить и другие документы, которые вы подписывали или оформляли в процессе работы, а так же показания свидетелей. Думаю, что если вы журнал и прочие документы "свиснете", то вам все оплатят, т. к. работодатель совсем не заинтересован привлекать внимание к своим незаконным действиям.

если администрация откажется добровольно оплачивать Вам отработанное время, идите в инспекцию по труду и расскажите им о сложившейся ситуации. Дело в том, что работа без оформления - серьезное нарушение со стороны работодателя, причины инспекцию при этом не волнуют. правда, скорее всего при составлении жалобы в инспекции потребуются чьи-то показания (свидетельские, 2-3 человека) о том, что Вы действительно работали
ЗЫ: попробуйте снять копию с нескольких листов этого журнала. конечно, это дополнительное доказательство.

Кидать они любят. Нужно хотя бы расписку было взять.

Вам обязаны заплатить. В прокуратуру обратитесь.

По сути должны оплатить, даже и не оформлены. Если что идите в трудовую инспекцию.

может и заплатят, но если пойдете в прокуратуру/инспекцию, врятли продолжите работу.

если у работодателя есть совесть то хотя бы премии быть должны