Как уволиться с работы?

Да, вечно эти "казлы" палки в колеса вставляют.. . Но вот Трудовой кодес требует от работника предупредить "казлов" не позднее, чем за две недели ( ст. 80 ТК РФ) . Кстати, эти две недели и работодателю Вашему надо: подготовить Вам же документы и расчетные. Где Вы в это время будете - роли не играет: на больничном, в отпуске. Но только не на новой работе. А если отпуска нет, и больничный не взять, то остается просить работодателя, чтобы подписал заявление в день его подачи. Или просите растолргнуть трудовой договор по соглашению сторон ( ст. 78 ТК РФ).

"Казлы" как раз те, кто скачет с места на место, забывая о том, что надо предупреждать работодателя за две недели...

Можно, по договоренности.
Минимум за 2 недели по ТК РФ ты обязан предупредить об уходе, но можно обойтись и без них, если с начальством была достигнута договоренность.
Кстати, отпуск перед увольнением тебе давать не обязаны.
То, что тебе 1 февраля нужно куда-то выходить, не является уважительной причиной.

Только договариваться с работодателем. У работника есть не только права, но и обязанности.
Всё что официально оформлено заплатят полюбому.

сходи в больницу возьми больничный либо попросись в отпуск

ОТработки не существует, есть предупреждение работодателя о расторжении трудового договора за 2 недели. Если прогуляйте, то у работодателя еще и появиться право расторгнуть трудовой договор еще и з прогул (помимо не выплаты зарплаты) . Но в любом случае он обязан выплатить за фактическое отработанное (если зарплата не серая).