Можно ли уволиться с работы проработав там неделю, не работая 2 недели?

Можно:
1. если Вы находитесь на испытательном сроке - 3 дня после написания заявления (ст. 71 ТК РФ) .
2. если Вы не находитесь на испытательном сроке:
- в любой день (по соглашению сторон между работником и работодателем) , ст. 78 ТК РФ;
- в срок, указанный в заявлении работника, когда увольнение обусловлено невозможностью продолжения работником работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства (например, задержки выплаты зарплаты) и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора, ст. 80 ТК РФ.
Ну, и обычная норма - 14 дней после написания заявления, ст. 80 ТК РФ; в случае когда ничего из вышеперечисленного не действует.

ждать две недели и не надо. На испытательном сроке не отрабатывают

Никто статью 80 Трудового кодекса Российской Федерации (далее - ТК РФ) не отменял.
В соотв. со статьей 80 ТК РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен кодексом иными федеральными законами. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

P.S. Согласно закону 2 недели - "не отработка". Вы предупреждаете работодателя за 2 недели до увольнения. Между двумя этими понятиями большая разница.
Пока вы на больничном подайте заявление. Выйдете с больничного отработаете оставшиеся дни.

Дык: Можно! Думаю, руководство будет не против, поскольку незаменимость Вы не успели "заработать"!

У меня недавно тоже такая ситуация была. Ничего страшного, подойдите к руководителю и объясните ситуацию как есть, а отпустит он вас сразу или придется 2 недели работать это на его усмотрение с учётом ваших пожеланий, но против договора не попрёшь, вы ведь его подписали сами и приняли такое решение тоже в зравом уме. Поэтому соблюдать придётся. Мало кто удерживает работника, если он не желает продолжать, потому как все понимают как в этом случае он будет относиться к своим обязанностям. Ну а если вы приняты с ипытательным сроком и это прописано в вашем договоре, то уведомить письменно работодателя об уходе можно за 3 дня.

Увольняйся!