Что делать человеку, которому всегда твердят, что он талантлив и может сделать карьеру, но он боится публики?

сходить к психологу и подтянуть уверенность в себе

В кукольный театр пусть идет, там его публика все равно не видит (за ширмой), а талант вполне можно проявит...

Боязнь и неловкость пройдут, если будешь чаще выступать. Начни с малых залов. Вспомни певиц, которые крестятся перед выходом на сцену. Они до сих пор боятся.

ничего не делать.

Катя, простите, а чем "люди, которые слышали" не публика? Или Вы только в ванной пели и Вас подслушивали и сказали о Вашем таланте.
Безусловно - выступать на публике - это страх. Я больше Вам скажу, это сначала страшно, а потом еще и стыдно :) Но Вы с этим ничего не сделаете если будете постоянно бояться. Не стремитесь завоевать публику и огромные залы - из моего опыта (не пения, конечно, выступлений) - это будет провал.
Пробуйте на малых залах, если Вам это интересно. Придите в караоке (достойный только), где не будет лишнего народа. Распевайтесь при друзьях, но на сцене (в некоторых караоке есть сцены). Пейте алкоголь (есть пьете) - это раскрепощает. Потом прибудет первый человек, после второй и третий и уже не заметите как Вы по "накатанной" будете петь сивои любимые песни, а сторонние лица Вам будут аплодировать (особенно если у них голоса нет, но они не стесняясь поют).
И тут не нужен какой-то психолог, который откроет Вам тайны Вашего внутреннего мира и "секретно" поможет выступать на публике. Все банальное просто и совершенно доступно: если желание действительно есть - вы сделаете это. А если желания нет - тогда пойте просто для себя и для друзей.
Если нет желания - зачем поддаваться словам "от людей"? А есть есть - почему не делать?