Посоветуйте ОЧЕНЬ мощный, но дешёвый ноутбук для ОЧЕНЬ тяжёлых игр.

1. Ноутбук для игр - очень и очень дорогое удовольствие.
2. Хорошая система охлаждения - опять же, дорого да и вообще с этим всегда проблемы. Есть вариант: Купить подставку с вентилятором под ноутбук. Во время игр, даже с подставкой датчики будут показывать температуру ~80 градусов (~ примерно).
3. Много ГБ - Смотря чего, хотя в ноутбуках и той и той памяти достаточно.
4. The Forest - не слишком ресурсоемкая игра. Что значит "не перегревался" - это широкое понятие. Греться он все равно будет - это же ноутбук.. Ну конечно, необходимо периодически его чистить от пыли (обязательно). 80 градусов, это нормальная температура ноутбука во время игр (По крайней мере, у меня, когда я работаю с Фотошопом или Pinnacle Studio температура ноутбука 79 градусов. Во время игр 85.)
Так какой же я могу вам посоветовать? На данный момент, лучше Asus X550LA (вся линейка, какой именно выбирать - решать только вам и вашему бюджету) я не видел (по крайней мере, он соответствует Вашим требованиям) и цена привлекательная - от 15 до 27 тысяч рублей. (Зависит от магазина и комплектации).
-----
P.S. "Очень тяжелые" тянуть будет только на минималках. Это все-таки бюджетный ноутбук.

Школоло шутить изволит? Мощный и дешевый не бывает. Хотите мощный игровой ноут - выкладывайте 200+ тысяч. Или выключите понты и за 50 тыр возьмите комп.

Ноутбук HP Pavilion 17-f104nr, серебристый экран: 17.3"; разрешение экрана: 1600×900; процессор: AMD A10 5745M; частота: 2.1 ГГц (2.9 ГГц, в режиме Turbo); память: 6144 Мб, DDR3L, 1333 МГц; HDD: 500 Гб, 5400 об/мин; AMD Radeon R7 M260 — 2048 Мб; DVD-RW; WiFi; Bluetooth; HDMI; WEB-камера; Windows 8.1 - 32 190р

Ноутбук LENOVO IdeaPad G710, черный экран: 17.3"; разрешение экрана: 1600×900; процессор: Intel Core i7 4702MQ; частота: 2.2 ГГц (3.2 ГГц, в режиме Turbo); память: 8192 Мб, DDR3; HDD: 1000 Гб; SSD: 8 Гб; nVidia GeForce 820M — 2048 Мб; DVD-RW; WiFi; Bluetooth; HDMI; WEB-камера; Windows 8.1 - 36 990 р

www.citilink.ru выбирай сам

мощный дешевый вещи не совместимы

Легко выбрать игровой ноутбук с самой мощной, в зависимости от бюджета, видеокартой и процессором - NoutList.Ru

Какие видеокарты, на каких настройках графики, какие игры потянут -
http://www.notebookcheck-ru.com/Videokarty-v-igrakh-ispytanie-boem.14067.0.html
Например практически самая слабая дискретная видеокарта, в дешёвых ноутбуках - NVIDIA GeForce GT 820M спокойно потянет:

На минимальных настройках графики:
Battlefield Hardline
Far Cry 4
Call of Duty: Advanced Warfare

На средних:
GTA V
Alien: Isolation
GRID: Autosport
World of Tanks

На высоких:
Fifa 15
Sims 4
Titanfall
Dead Space 3
Dishonored

Компания Jointech представила ноутбук JL7100, цена которого 99 долл. на данный момент это самый дешёвый ноутбук в мире.

Ранее идею создания стодолларового ноутбука высказывали представители фонда One Laptop per Child. Цель фонда - обеспечение малоимущей молодежи во всем мире специальной моделью портативных компьютеров, стоимостью 100 долларов за штуку. Ноутбуки, созданные в рамках данной программы, получили название OLPC XO. Они построены на базе процессора AMD с тактовой частотой 500 мегагерц, оснащены 128 мегабайтами оперативной памяти и 512-мегабайтным флеш-диском для хранения информации. В настоящее время XO стоит 188 долларов.

Для тяжёлых игр дешёвым ноутбук пока быть не может, тогда уж недорогой десктоп для игр ,

для игр лучше приставки нет.