Станет ли видеокарта Gigabyte GeForce GT 1030 OC 2GB [GV-N1030OC-2GI] в PC с блоком питания 350w?

это офисная затычка с tdp 30 ватт, потребляет она примерно столько же.
Она может работать с любым, даже доисторическим блоком на 200 ватт.
Тут просто нечему особо потреблять энергию.

А 350 ватт - это общая мощность блока. Чаще всего по 12 вольтовой линии он выдаёт намного меньше. В дешёвых блоках бывает что из 350 ватт он 200 ватт выдаёт по 12 вольтам, а ещё 150 по 3.3 и 5 вольтовой линии.
В более дорогих блоках все 350 ватт могут быть на 12 вольтах.

По 12 вольтовой линии получает питание материнская плата и видеокарта.

Остальное обычно питается от 5 или 3.3 вольт

"Gigabyte GeForce GT 1030 OC 2GB"
Забудь про эту дно ВК. Начни с нормального блока питания. При чем, не экономь, бери 600 ватт и от нормальной фирмы (или 700 от FSP)
https://www.regard.ru/catalog/tovar278845.htm
https://www.regard.ru/catalog/tovar346880.htm
БП желательно купить новым.
Только потом, обновив БП, принимайся за обновление ПК. Здесь уже можешь юзать вторичку. Та же rx470/570/480/580 в версии на 8гб с рук будет просто отличным выбором.
с процом посложнее, можно fx8300 с алика поставить по дешману поставить (и вторую планку ОЗУ, если стоит всего одна), а можно разориться на новую платформу на i3 10100/ ryzen3300x
Но как бы ни было, совет - сначала замени БП.
Теперь о проблемах 1030
1) сам чип слабый.
2) мало видеопамяти, очень мало.
3) pci x4. Тоесть, больше чем 2 гигабайта ни как заюзать не сможет, даже из оперативки.

да этой затычке не нужно доп питание