Как найти sin угла? Как найти синус угла, зная только сам угол? Например sin 80 градусов?

Если таблица и калькулятор не катят, то разложением этих функций в ряд Тейлора или другой ряд. Если попутно применить ряд приёмов вроде двойного угла и других, то это довольно быстро.
Например, синус 80 градусов = косинус 10 градусов = косинус 10 / 180 * пи .
Дальше формула cos x = 1/2*x^2 - 1/(2*3*4) *x^4 + 1/(2*3*4*5*6) *x^6 - .
Слагаемых бесконечное количество, но они быстро убывают. Хвост из малых слагаемых можно отбросить. Так можно вычислить с любой точностью, надо лишь взять достаточно много слагаемых.

Либо таблицы Брадиса, либо калькулятор, либо численные методы.

таблица брадиса тебе в помощь)

ну или формулы приведения и разложение в ряд тейлора: )
sin 80 = sin (pi/2 - 10)= ...

калькулятор инженерный зает это и многое другое)

Ну вобще-то можно разложить в Тейлора используя периодичность формулы 2-ч 3-х 5-ых и тд углов которые легко получаются из формул Эйлера в комплексном виде (и параллельно для косинусов) сделать угол как можно меньше. Просто так будет точнее. Но базис Тейлора не ортогонален в функциональном пространстве и потому ошибки быстро растут. Профессиональные проги используют на полиномы Чебышева. Там ошибки минимизированы. Писать прогу лучше всего на фориране, там безальтеннативные средства контроля за точностью и скоростью, позволяет получить наиболее точный результат при меньших усилиях. На самом деле это большая работа. Есть встроенные команды сопроцессора. Но они не так хорошо считают. Через тейлора считают только дилетанты... Вобщем это большая работа. Можно поискать готовые модули, если плохо понимаете...