Боже мой, не могу решить диффур.

Диффур не сложный, потому что через чур симметричный. И трансляция по x, и однородность... Но, конечно, писанины много, если делать в лоб, как я. Надеюсь, не облажался нигде)
1) Сначала я убедился, что нельзя переписать его в виде:
F(y, y', y'')' = 0
рассмотрев уравнение для F(x,y,z) как для функции независимых переменных.
2) Понизил порядок, воспользовавшись инвариантностью относительно трансляции по x:
y'(x) = v(y(x))
Относительно v(y) получилось уравнение:
2 v^3 - y v^2 v' - y^2 v (v')^2 - y^2 v^2 v'' = 0
3) Затем исключил одну из переменных, воспользовавшись однородностью:
y = exp(z)
v = exp(z) w
Относительно w(z) получилось уравнение:
w [w w'' + 4 w w' + (w')^2] = 0
Тут вылезло первое особое решение.
4) Снова понизил порядок, воспользовавшись появившейся инвариантно сетью относительно трансляцией по z (следствие однородности):
w'(z) = L(w(z))
Для L(w) получилось уравнение:
L [w L' + L + 4 w] = 0
Тут вылезло второе особое решение, и остался линейный диффур.
5) Ну и после его решения пришлось пройтись обратно по всем заменам, что было легко и красиво, потому что уравнение красивое) И получилось такое общее решение:
y = sqrt(a sin[b (x - c)])
y = sqrt(a sinh[b (x - c)])
и такие особые решения:
y = a
y = a exp(b x)
(a, b, c - константы интегрирования)
Все чистенько переписывать, чтобы сфоткать, лень. Но по написанному должно быть все понятно)

И не надо. Реально достаточно иметь кривую.
Это лучше зубодробительной формулы