На каких деталях гладкоствольного охотничьего карабина (Сайга) остаются следы выстрела, которые можно обнаружить...

Если Вы имеете ввиду механизм следообразования, то вот:
В начале своего движения по каналу ствола пуля имеет только поступательное движение, в результате чего на ее поверхности образуются первичные следы, имеющие направление, параллельное осевой линии нули. В ходе своего дальнейшего движения под действием полей нарезов пуля приобретает дополнительно вращательное движение. Это ведет к образованию вторичных следов в виде пучков трасс, расположенных под углом к осевой линии пули. При этом крупные дефекты канала ствола, расположенные ближе к дульной части, уничтожают мелкие трассы, отображающие микрорельеф средней и особенно задней части канала ствола. Наибольшее значение для идентификации имеют поэтому особенности рельефа передней части канала ствола. Микроструктура канала ствола приобретает видимые изменения с каждым выстрелом. Интенсивная эксплуатация оружия или неблагоприятные условия его хранения могут привести к таким изменениям канала ствола, которые с течением времени могут сделать индивидуальную идентификацию оружия невозможной.

Микроструктура канала ствола гладкоствольного оружия по выраженности своей индивидуальности не уступает нарезному оружию. Вместе с тем механизм образования следов на дроби и картечи является более сложным. В результате давления, развиваемого пороховыми газами в канале ствола и воздействующими на дробовой заряд, продвигающийся по стволу компактной массой, в нем происходят явления уплотнения, расклинивания и впрессовывания. При этом на дроби и картечи появляются контактные следы от соседних снарядов и следы трения в результате их продвижения от стенок канала ствола. Контактные следы могут быть использованы для определения места нахождения исследуемой дробины в заряде, а следы от канала ствола – для идентификации. Следует иметь в виду, что следы от канала ствола, точнее – части его цилиндрической поверхности с трассами от имеющихся на ней дефектов, образуются лишь на периферийной (прилегающей к стволу) поверхности снаряда. Другие поверхности могут иметь контактные пятна от соседних снарядов, выраженность которых сильнее в нижней части заряда.
Поскольку следы на исследуемом снаряде трудно непосредственно сравнить с каналом ствола, из проверяемого оружия производится стрельба экспериментальными снарядами, посредством которой получают пригодные для сравнения отображения канала ствола. Стрельба производится в специальные устройства-пулеулавливатели (ватные, масляные, водяные и др.) , обеспечивающие полную сохранность следов от канала ствола на снарядах.
Родовая идентификация огнестрельного оружия по пулям осуществляется путем сопоставления данных о калибре, количестве нарезов, угле наклона, их направлении, ширине полей нарезов, степени изношенности канала ствола. Совпадение указанных характеристик позволяет сделать вывод о том, что сравниваемые пули могли быть выстрелены из ружья одной и той же модели или образца. Поскольку в различных моделях оружия указанные характеристики могут совпадать, такое совпадение недостаточно для точного установления модели или образца оружия. Вместе с тем обнаружение различия сравниваемого оружия по калибру, устройству ствола, количеству нарезов, их направлению, установленное по следам на пулях, достаточно для категорического исключения сравниваемого оружия без сравнительного исследования индивидуальных особенностей канала ствола.

С целью индивидуальной идентификации оружия по снарядам сопоставляется макро- и микроструктура канала ствола, отображенная в следах на снарядах. Сравнительное исследование осуществляется с применением сравнительных микроскопов, и иногда фотографической и механической развертки поверхности пули или путем сравнения предварительно изготовленных копий поверхности пули.

Какой конкретно вопрос разрешает экспертиза "производились ли выстрелы из данного оружия" или же речь о следах конкретного выстрела? Потом, очерёдность выстрела (какой это выстрел по счёту от первого - из данного оружия) тоже может играть роль.. .
С какой вообще целью проводится экспертиза, что надлежит установить, исследуются ли пуля, гильза.. ?

любое оружие индентифицируется по характерным особенностям пули и гильзы. в данном случае только гильза за исключением слущая, когда выстрел произведён пулей (только подколиберной) .
в самом оружие (на всех внутрених частях ствольной коробки) остаются следы порохового нагара (характерной группы порохов).