можно ли оставить завещание на не приватизированную квартиру?

Если это договор социального найма - то нельзя.

В наследственную массу входит имущество, находившееся в собственности наследодателя на день его смерти. Собственником неприватизированной квартиры является муниципалитет

Алиса, завещать имеет право, но завещателю в данном случае не принадлежит квартира, её собственник муниципалитет.

Просто пропишите в эту квартиру того, на кого должно было оставлено завещание, после смерти наследодателя он будет распоряжаться квартирой.

Или приватизируйте её и спокойно оставляйте завещание.
Оно должно быть составлено в письменной форме и удостоверено нотариусом или иным уполномоченным законным лицом.

Завещание может быть оспорено, если оно ущемляет интересы нетрудоспособных родственников умершего. Такие родственники часто имеют право на обязательную долю в наследстве, которая не отменяется завещанием.

Не имеет юридической силы завещание, оставленное недееспособным лицом.

Если тот кто собирался оставить завещание прописан один в этой НЕ приватизированной квартире, то она после смерти сразу перейдет в собственность муниципалитета.

А Вы прпишите этого человека, которому хотите завещать, или приватизируйте. А так это не Ваша собственность и завещать Вы её не имеете право.

Нет. Как можно завещать то, что Вам не принадлежит?

нет, т. к это не является собственностью завещателя

Завещание составить можно на любое имущество: 1120 ГК РФ ч. 3. Завещатель вправе совершить завещание, содержащее распоряжение о любом имуществе, в том числе о том, которое он может приобрести в будущем.

Но само по себе завещание не дает Вам никаких прав.
Надо срочно начать приватизацию квартиры, чтобы было ЧТО НАСЛЕДОВАТЬ.
Сделайте завещание + доверенность на приватизацию.
По доверенности Вы все оформите и зарегистрируете право собственности на этого человека, а уж после его смерти переоформите на себя по завещанию.

Нет. Если квартира неприватизирована, значит она принадлежит государству, т. е. ты не можешь ею распоряжаться!

так как не приватизированная квартира не является собственностью, на неё завещание оставить нельзя, только на имущество которое будет находится в этой квартире

Да имеете право, завещать любое имущество, на основании статьи 1120 ГК РФ ч. 3. Завещатель вправе совершить завещание, содержащее распоряжение о любом имуществе, в том числе о том, которое он может приобрести в будущем.