Мы хотим построить беседку, какое должно быть расстояние от соседнего участка? И зависит ли это от высоты беседки?

обычно соблюдаются пожарные проезды (от 3,5 до 5м.) . Высота беседки может лимитироватся если есть нарушение инсоляции (освещения) соседнего участка, более точную инфу можно получить в отделах архитектуры исполкомов

Не менее одного метра.
СНиП 30-02-97 от 01-01-1998 Планировка и застройка территорий садоводческих объединений граждан, здания и сооружения.
6.7 Минимальные расстояния до границы соседнего садового участка по санитарно-бытовым условиям должны быть, м:
от садового дома - 3;
от постройки для содержания мелкого скота и птицы - 4;
от других построек - 1 ;
от стволов высокорослых деревьев - 4, среднерослых - 2;
от кустарника - 1.
http://stroy-life.ru/p9/t4/l61/v1/index.html

СНиП 30-02-97 от 01-01-1998 Планировка и застройка территорий садоводческих объединений граждан, здания и сооружения.
6.6 Садовый дом должен отстоять от красной линии улиц не менее чем на 5 м, от красной линии проездов - не менее чем на 3 м. При этом между садовыми домами, расположенными на противоположных сторонах проезда, должны быть учтены противопожарные расстояния, указанные в таблице 2. Расстояние от хозяйственных построек до красных линий улиц и проездов должно быть не менее 5 м.
6.7 Минимальные расстояния до границы соседнего садового участка по санитарно-бытовым условиям должны быть, м:
от садового дома - 3;
от постройки для содержания мелкого скота и птицы - 4;
от других построек - 1 ;
от стволов высокорослых деревьев - 4, среднерослых - 2;
от кустарника - 1.
6.8 Минимальные расстояния между постройками по санитарно-бытовым условиям должны быть, м:
от садового дома и погреба до уборной - 12;
до душа, бани и сауны - 8;
от колодца до уборной и компостного устройства - 8;
до постройки для содержания мелкого скота и птицы, душа, бани, сауны - 12;
от погреба до компостного устройства и постройки для содержания мелкого скота и птицы - 7.
Указанные расстояния должны соблюдаться как между постройками на одном участке, так и между постройками, расположенными на смежных участках.