Если я прописана в одном городе, а работать и жить в другом буду, мне не дадут работу без местной прописки?

Запрещается необоснованный отказ в заключении трудового договора (ст. 64 ТК РФ)
Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17 марта 2004 г. N 2 «О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации» (с изменениями от 28 декабря 2006 г. )
п. 11. Обратить внимание судов на то, что отказ работодателя в заключении трудового договора с лицом, являющимся гражданином Российской Федерации, по мотиву отсутствия у него регистрации по месту жительства, пребывания или по месту нахождения работодателя является незаконным, поскольку нарушает право граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства, гарантированное Конституцией РФ (часть 1 статьи 27), Законом Российской Федерации от 25 июня 1993 г. N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» , а также противоречит части второй статьи 64 ТК РФ, запрещающей ограничивать права или устанавливать какие-либо преимущества при заключении трудового договора по указанному основанию.
Ни один нормативный правовой акт не требует от работодателя проверки соблюдения гражданином, принимаемым на работу, правил регистрационного учета.
ЕСЛИ РАБОТОДАТЕЛЬ при приеме на работу будет требовать от трудоустраивающегося документ, подтверждающий наличие регистрации в данном населенном пункте, он может быть привлечен к административной ответственности по ст. 5.27 КоАП РФ. Кроме того, отказ в приеме на работу по причине отсутствия регистрации может повлечь даже уголовную ответственность по ст. 136 УК РФ.

Для устройства на работу никакой регистрации не требуется. Перечень документов, необходимых для устройства на работу - перечислен в ст. 65 ТК РФ.
Если у вас будут вместо диплома требовать регистрацию - то бегите от такого работодателя подальше. С болванами работать - себя унижать.

Дадут. Оформите регистрацию по месту пребывания (она на 3 месяца даётся, потом заново...)

Все зависит от работодателя, который имеет право не принять на работу даже не объясняя причин.

у Вас будет временная прописка, а с временной пропиской можно устроиться на работу (но не везде).