Юристы какие действия должны быть со стороны водителя и кондуктора в данной ситуации?

Хозяин НАТРАВИЛ собаку и СПУСТИЛ с поводка. Это уже уголовный кодекс. Можно требовать возбуждения УГОЛОВНОГО ДЕЛА по факту нанесения телесных повреждений.
Водитель и пассажиры (если найдутся) будут выступать в качестве свидетелей.

Сразу после происшествия, в любом случае, надо факт укуса зафиксировать в травмпункте, о чем получить справку. Если вам прописаны перевязочные средства, лекарства, витамины и прочее- все рецепты и чеки сохраните в укромном месте, чтобы потом приобщить к делу. Все медицинские документы, амбулаторную карту, все справки и выписки из истории болезни-также собирайте для приобщения к материалам дела.

С водителем сложнее ситуация.
Собаку можно считать имуществом, поэтому хозяин собаки может потребовать компенсацию.
С другой стороны самооборона не является преступлением.
Свидетели в помощь.

Ему откажут в иске- нет их вины в гибели собаки

кондуктору следует подать встречный иск. водитель будет выступать в качестве свидетеля.
ГПК РФ
Статья 137. Предъявление встречного иска
Ответчик вправе до принятия судом решения предъявить к истцу встречный иск для совместного рассмотрения с первоначальным иском. Предъявление встречного иска осуществляется по общим правилам предъявления иска.

Статья 138. Условия принятия встречного иска
Судья принимает встречный иск в случае, если:
встречное требование направлено к зачету первоначального требования;
удовлетворение встречного иска исключает полностью или в части удовлетворение первоначального иска;
между встречным и первоначальным исками имеется взаимная связь и их совместное рассмотрение приведет к более быстрому и правильному рассмотрению споров.

"Собачник" проиграет этот суд, и возможно сам попадёт на оплату лечения кондуктора!