если Я написал заявление за свой счёт на несколько дней, обязаны ли его подписать руководство, или нет?

Ст. 128 ТК РФ
Работодатель ОБЯЗАН на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы) , либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы) , - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

А всем остальным, работодатель может отпуск без содержания предоставить, если счтет причину достаточно уважительной.

От уважительной причины зависит

Есть случаи, когда обязаны, а по общему правилу-нет. Если скажете для чего вам нужен отпуск и какую причину вы указали в заявлении можно будет сказать точнее.

Читайте трудовой договор. В моем написано, что работодатель может предоставить мне краткосрочный отпуск без сохранения заработной платы при уважительных обстоятельствах.

Нет НЕ ОБЯЗАНЫ...

На счёт ОБЯЗАНЫ - не обязаны, конечно. Если работы дофига и ваша причина "отпрашивания" может подождать, то вряд ли отпустят.