Могут ли приставы...

Могут.
По поводу последнего замечания: Вы и так являетесь физическим лицом, просто с особым - предпринимательским - статусом. Поэтому приставам ничто не запрещает числить Вас как должника - физическое лицо. Это не совсем верно, но не принципиально.
Теперь по взысканиям:
Внебюджетные фонды (я так понимаю, Вы имеете в виду пенсионный или фонд медицинского страхования) для взыскания задолженности с индивидуального предпринимателя имеют право использовать следующие принудительные меры:
- направление требования об уплате задолженности по взносам - это понятно, просто требование;
- обращение взыскания на денежные средства должника в банке - это инкассовые поручения на бесспорное списание долга с расчетного счета;
- обращение взыскания на имущество должника (статья 20 закона "О страховых взносах в ПФ, ФСС и ФФОМС" № 212-ФЗ от 24.07.2009).
Последняя мера предполагает, что фонд выносит постановление о взыскании задолженности и направляет его судебным приставам. А судебные приставы на этом основании ведут исполнительные действия, в том числе могут арестовать имущество (причем не только то, что используется в предпринимательской деятельности, ведь ИП отвечает по долгам всем своим имуществом) .
Таким образом, для взыскания задолженности по взносам в фонды с индивидуального предпринимателя через службу судебных приставов решения суда не требуется. По закону оно производится во внесудебном порядке - на основании соответствующего постановления внебюджетного фонда.
Решение суда для взыскания задолженности будет необходимо только в том случае, если Вы уже утратили статус ИП.

После судебного решения

Без решения суда - нет. Внести в картотеку - да.