банк имеет право требовать ИНН с физического лица при оплате услуг детского сада?

Вы не поверите, но ИНН к персональным данным не относится, он никакой личной информации не содержит. Так что Ваша позиция в этом вопросе не совсем понятна. Если Вы принципиально не желаете иметь ИНН - пишите заявление в налоговую инспекцию, обосновывайте почему (религиозные там соображение или еще какие) и требуйте его в документах не указывать вообще (скорее всего, Вам пойдут навстречу).
ИНН присваивается всем, работать для этого не обязательно.

Далее: Вы пришли в банк и поручили ему перечислить деньги за услуги детского сада от Вашего имени. Естественно, банк требует необходимые для оформления платежа реквизиты.
ИНН теперь спросили, потому что с 28 марта 2016 года в нормативный акт, регулирующий заполнение платежных документов, внесены изменения: ИНН стал обязательным реквизитом (как раньше поставить 12 нулей уже нельзя).
Правда, этот реквизит обязателен только при перечислении денег в бюджет. Но банки, видимо, страхуются и требуют у всех. Вот тут они не правы: физическое лицо имеет право вместа ИНН указать другой идентификатор - полное ФИО + паспортные данные + адрес регистрации. Но это как раз персональные данные...
Кстати, узнать Ваш ИНН банк не может по определению - он не располагает такой информацией и не обязан ее иметь. Могут и сами узнать - так же введя данные на сайте, но во-первых, не обязаны, а во-вторых - опять же утыкаемся в Ваше нежелание оставлять "где попало" персональные данные, а без них - не обойтись.

ИНН есть у всех - просто надо узнать в налоговой или можно узнать через интернет - по данным паспорта
Например вот тут - https://service.nalog.ru/inn-my.do
По крайне мере проверял свой - все совпадает