Намерены подать встречный иск. Кому его вручать? Нужно платить госпошлину?

встречный иск о чем?
конкретизируйте.. в вашем случае - вы не о том думаете...

Я так поняла, страховая с Вас суброгацию требует.
А Вы - в панике.
Под досудебными мероприятиями Вы что подразумеваете? Что кто-то церемонии всякие проводить будет?
И какое встречное требование, направленное к зачету первоначального требования, Вы собрались предъявлять к страховой компании? Что она Вас залила и Вы в свою очередь с нее деньги требуете?
Вы не написали - Вы иск-то получили со всеми приложениями? С этого надо начинать, иск и все, что перечислено в приложениях, у Вас должно быть. То есть, по сути, копия страхового дела.
Судья во вторник проведет предварительное судебное заседание и назначит разбирательство по существу недели через две. Скажите, что повестку Вы получили лишь пару дней назад и Вам нужно время, чтобы подготовить письменные аргументированные возражения.
Я бы заявила, что я являюсь ненадлежащим ответчиком. И дальше - и про акт, который составлялся без Вас, и про осмотр труб, которого не было, и про разницу по времени между аварией и заливом, и проч.
И про определение размера ущерба. И про то, что соседка произвольно указала Вас виновником залива.
Либо, если чувствуете, что у Вас слабая позиция, предложить мировое соглашение страховой компании. Сумма требований там маленькая, 7 тысяч, сказать, что я выплачу, но не 7, а 5 тысяч, но в течение 2 недель. Потом эти условия надо будет исполнить без напоминаний.

Какой к чертям иск вы можете подать? Ищите юриста, не майтесь дурью.