Обязательно ли претензия при досудебном урегулировании может предъявляться письменно?

Не обязательно. Но тут возникает ситуация, когда бремя доказывания того, что ты подавал сию претензию, ложится на тебя. Позвонил ты, оператор претензию зафиксировал, рассмотрели, приняли решение. Тебя оно не устроило, ты обратился в суд. Запись разговоров не позволит идентифицировать и тебя, и ответившего. Пусть даже произошла мифическая ситуация, дело приняли к рассмотрению, представитель ответчика нажал на кнопочку, и в его базе все разговоры стерлись. Инфа о твоих жалобах исчезла. . А тут уже и сроки нарушения твоих прав вроде как и не передвигались и не нарушались.. доказательств того, что ты предъявил претензию, а тебя продинамили у тебя нет. Ответчик не соглашается с тем, что претензия подавалась..

Переписка - это одно. А претензия должна иметь формальное закрепление.
Если у вас договором предусмотрен досудебный порядок урегулирования спора, или он предусмотрен законом - то надо показать суду, что вы пытались в досудебном порядке спор урегулировать. То есть - что именно из вашей переписки является претензией? Какое именно из писем носит претензионный характер? А не все эти вялые переругивания по мейлу, по полторы корявых фразы неизвестно про что.
Сказано в вашем договоре, что "споры вытекающие из настоящего договора стороны решают путем переговоров. В случае недостижения соглашения, споры рассматриваются судом" - вот, в договоре закреплен обязательный досудебный порядок урегулирования спора. Извольте предъявить суду доказательства, что Вы пытались провести переговоры, велся протокол переговоров. Или составлялась и направлялась претензия, со сформулированными требованиями, с обоснованием своих требований.
А не показывать суду "ща, вот тута на телефоне, включу звуки - кхе-кхе, бря-бря", неизвестно, что за запись, о чем это вообще, и как прикажете это приобщать к материалам дела.
Так что потрудитесь уж вспомнить свои навыки письма и составьте претензию, и отправьте ее вашему контрагенту. Эмоции Ваши никого не интересуют. А разумное изложение требований в письменной претензии объяснит Вашу позицию в споре - и Вашему оппоненту, и суду, который вас впервые видит, и сто лет ему таких видеть не хочется.

Лучше в письменном виде: для суда нагляднее и достовернее...

нет, только письменно, причем чтобы были оттиски штампов организации, при приеме или оттиски штампов почтовых, иначе это все не имеет на суде ни какой силы, причем запись телефонных разговоров зачем нужны заморочки проведения экспертизы в случае если записанный скажет что это не его голос будете оплачивать экспертизу, которой даже не будет потому что записанный человек заявит ходатайство о том что данное доказательство получено с нарушением, потому что когда человека записывают перед этим предупреждают и т. д. а с электронкой может и прокатит