Почему врачи отпустили пациента с перебитым пальцем?

На самом деле его направили в травматологию - ортопедию или в специализированное отделение хирургии кисти. Палец не на ноге, он им не ходит, поэтому в транспортировке он не нуждался. А вот воспользоваться или нет врачебными рекомендациями - это уже дело пациента.)
И на скорой его правильно отвезли вначале в травмпункт, так как углубленно диагностировать повреждение - они не хирурги и не травматологи. В наряде написали, угрозы для жизни нет, и быстро освободили машину для тех, у кого она есть.
Лишь бы напраслину на врачей возводить, ничего не соображая в проблеме!

А что, мужчина в 62 года, сам не в состоянии дойти до врача в поликлиике? Кроме того, палец после травмы разрабатывать надо. Массаж, физзео процедуры и т. д.

Значит не перебиты связки и суставы, а скорее всего палец был выбит из сустава и, возможно встал на место не до конца. В справке наверняка написали, что нужно продолжить лечение у хирурга по месту жительства.

Травма оказывает первую помощь хоть с ожогами хоть с переломами, дальше нужно идти в поликлинику и уже ваш хирург решит что делать дальше.

Травмпункт в основном оказывает первую помощь при травмах и потом направляет к узкопрофильным специалистам в специализированные больницы
Вопрос отпустили ли просто так на все четыре стороны, или дали направление к хирургу, после которого человек забил на него.

Я бы после такой помощи пошла сразу к хирургу в поликлинику

Я вообще стараюсь не болеть. Если что-то беспокоит пытаюсь сам себе помочь. К врачам иду только в случае крайней необходимости.