Возможно ли официальное трудоустройство в 16 лет?

Да, в соответствии со ст. 63 ТК РФ заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими 16 лет, на это даже уже не нужно согласие родителей в этом возрасте, но для Вас будут предусмотрен укороченный рабочий день до 35 часов.

Я даже в 15 работал официально на заводе

ст.63 ТК РФ
Заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими возраста шестнадцати лет, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими федеральными законами.

Лица, получившие общее образование и достигшие возраста пятнадцати лет, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью. Лица, достигшие возраста пятнадцати лет и в соответствии с федеральным законом оставившие общеобразовательную организацию до получения основного общего образования или отчисленные из указанной организации и продолжающие получать общее образование в иной форме обучения, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.

С письменного согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства трудовой договор может быть заключен с лицом, получившим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью, либо с лицом, получающим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения в свободное от получения образования время легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.

Вообще-то должны завести трудовую книжку.

Подростковый труд является незаконным, могут наказать твоих родителей

Да, но с согласия родителей, а если получить полную дееспособность через суд, то и без него можно