Можно ли написать заявление в прокуратуру и на кого писать, если пригрозили, чтобы я больше не ходила в магазин?

Прокуратура тут не нужна! Магазин может устанавливать свои правила — например, режим работы, ассортимент или способ продажи. Но если это ущемляет ваши права, то по статье 16 закона о защите прав потребителей, такие внутренние правила признают недействительными.
Если охранник вас не впускает — это административное правонарушение, которое грозит магазину штрафом. Попробуйте спокойно поговорить с охранником или вызывайте полицию, чтобы составить протокол.
Если вы прошли в торговый зал с личными вещами — на выходе вас могут попросить их показать, но не торопитесь это делать. Охранник имеет право осматривать вещи только с вашего разрешения и если на это есть серьёзная причина — зазвенела рамка или кражу зафиксировала камера. В других ситуациях никаких претензий быть не может.
Когда охранник без видимого повода проверяет ваши вещи, он нарушает статью 55 конституции о праве на свободу и личную неприкосновенность и превышает полномочия.
В магазине вы имеете право:
Пройти в торговый зал с любыми вещами.
Не пользоваться камерой хранения.
Отказать охраннику в осмотре.
Если ваши права нарушают:
Постарайтесь решить вопрос мирным путём. Мягко и аргументированно объясните, почему сотрудник магазина не прав.
Попросите книгу отзывов и предложений, подробно опишите ситуацию.
Снимите нарушение на телефон, найдите несколько свидетелей, это понадобится в суде.
Напишите претензию в администрацию магазина и в Роспотребнадзор, он проверит организацию.
Если с вами грубо обращаются и не идут на контакт — вызовите полицию, чтобы составить протокол.
Если вы получили моральный или материальный вред — обращайтесь в суд.
https://edadeal.ru/journal/show_bag

Я не помню, какая законодательная база, но покупатель не обязан оставлять в камерах сумки. Если администратор так хочет, то может ходить за вами и смотреть, что вы берете. Вы бы у них письменный отказ в обслуживании попросили. Думаю, что это бы охладило пыл торговцев. А если и дадут, то вы можете подать обращение в прокуратуру на госуслугах. Но лучше иметь какие-то подтверждающие документы и подгрузить в заявление. А прокуратура уж сама разберётся, что нарушил магазин. Ваше заявление прокуратура не может не принять. Более того, вам придет оф ответ. Доки, видеофиксация, которую вы делаете или ваш спутник и тп. Только сами под камеру ведите себя спокойно и корректно. Вы даже можете тут же позвонить в полицию. Сотрудники наделены правом принимать заявления от граждан.

А прокуратура вас с магазином должна помирить, или как страшило выступить, чтобы всех напугать?

Ну это само по себе угроза. Думаю не если в первый раз то да

Написать заявление в прокуратуру об этом не можно. Написать заявление в прокуратуру об этом нужно. И ещё нужно их за это засудить.