Может ли суд обязать заключить договор трудовой?

Да, уважаемый Никита Г., трудовой договор обязателен по ФЗ "Трудовой кодекс РФ" (ТК РФ) для сторон трудовых отношений (трудовые отношения и их "стороны" (работодатель и работник) прописаны в главе 2 "Трудовые отношения, стороны трудовых отношений, основания возникновения трудовых отношений" ТК РФ) !
Исходя из этого, Вы можете по суду обязать работодателя заключить с Вами трудовой договор (ТД), но делается это "по суду" после того, когда работодатель отказался заключить с Вами (с работником у него) ТД.
Теперь понятна последовательность Ваших действий.
1. Писать Вам придётся, сначала, работодателю по основанию им заключения с Вами ТД после того, как Вы (по Вашему мне известному сведению) проработали у него больше одного месяца, если с устного Вашего требования заключить ТД без промедления он откажется это сделать (ТД в соответствии со статьёй 16 трудовых отношений ТК РФ оформляется сразу же после фактического допущения работника к работе ("на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя" - согласно этой статьи 16 ТК РФ) ).
2. Когда Вам придётся писать (работодателю от работника, прокурору от работника (указываете организацию, в которой Вы проработали больше одного месяца), в суд на отказ (главного) должностного лица работодателя заключить с Вами у него работником ТД) - пишется примерно одинаково: после фактического допущения меня работника к работе должностное лицо организации (предприятия) не сделал мне предложение (у работодателя - лицо нижестоящей должности) ТД и отказался руководствоваться ТК РФ, который обязывает заключить с работником ТД.

а, почему вы решили, что трудовой договор с вами заключить обязаны? любой договор - это соглашение двух сторон, если одна из сторон не желает этого соглашения, то и суд не обяжет. если только вас фактически к работе допустили, то суд может признать факт возникновения трудовых отношений и обязать работодателя оформить их в установленном законом порядке

Он может признать расторжение договора недействительным и, как следствие, работодателю надо будет восстановить работника, оплатить ему вынужденный прогул и прочее. А обязать заключить - нет.

кого обязать? Вас, работодателя? А сейчас Вы как трудитесь, на основании чего?

Нет. Только оштрафовать за его отсутствие.

Теоретически да. Это называется обжалование в суд необоснованного отказа в приёме на работу. Но на практике такое происходит крайне редко.