Почему слой просветляющей плёнки должен быть 1/4 длинны волны?

Пересказ выше действительно вольный, а последнее предложение даже очень ))
Но, к сожалению, четвертьволновые вибраторы и вообще все антенно-фидерные устройства тут ни при чем. Хотя "законы синусоиды" везде одинаковы. Тут эффект оптики.
Начало правильное - нужно представить синусоиду.
потом нужно нарисовать разрез этого слоя и наложить синусоиду в масштабе.
И посмотреть что будет. А будет следующее:
Синусоида (часть) отразится от границы "воздух- слой" как от зеркала. Рисуем.
Два - Проникшая в слой синусоида через 1/4 периода достигнет границы "слой-стекло" и отразившись от нее пойдет обратно.
Достигнув границы "воздух-слой" она пройдет еще 1/4
Таким образом, синусоиды, отраженные от границ "воздух-слой" и "слой-стекло" будут сдвинуты относительно друг-друга на 1/2 периода. Ну и по закону интерференции (читай сложения) они сами себя погасят, что означает, что отражение от такой поверхности будет близко к нулю.

Не совсем так: слой просветляющей пленки должен быть 1/4 длины волны с точностью до длины волны, то есть можно добавить целое количество длин волн. На практике очень тонкий слой трудно получить и ещё труднее сохранить, поэтому используется не 1/4 длины волны, а, например, 9/4.

Доли отраженного и преломленного света зависят как косинус и синус толщины среды, выраженной в единицах длины волны. Это физический закон, не помню, как он называется. Есть популярная книжка Фейнмана "Диаграммы Фейнмана" (по крайней мере, мне кажется, так она в переводе называется) , там это популярно и понятно (книжка для школьников) объяснялось.

1/4 - святое число в радиотехнике - максимум сигнала в этом месте.
Все антенны на этом принципе построены.
Представили синусоиду? - один цикл - разделите на 4.
В этом месте макс сигнал относительно той точки, которая "ноль".
Поскольку свет = всего лиш эл-маг. волны, становится понятно -
мин. потерь энергии при такой толщине слоя.
И даже есть усиление сигнала.
Вольный пересказ теории и практики.