Что такое программная логика и как её развить?

Полагаю это умение просчитать ход программы в уме, а также способность проводить декомпозицию задач, т. е. разбивать большую проблему на много маленьких, которые проще решить. Ну и составление алгоритмов, булева алгебра и тыды.

Развивается исключительно практикой, т. е. написанием кода. Желательно с нуля.

Умение всё разложить в своей голове на "да" и "нет". Аккуратно и по полочкам. Без этого программиста не будет. Хорошая фраза: "Программист - это не профессия, программист - это образ мышления! "

мыслить как программа.

Без контекста трудно понять, что именно Вас интересует.
Например, программная логика - это логика работы программы.

Умение подмечать несущественное и складывать всё в единую цепь событий. Своего рода умение собирать мозайку. Как развит? Мммм.. . сложный вопрос.... Можно научит человека считать, писать, говорить.. . но как научить его думать?

А шо надо чтоб хорошо бегать? Ты не поверишь -- надо бегать. Или ты думал, чтоб развить способность мыслить, надо хорошо кушать? Или носить свитер?

программная логика - это алгоритмы. Почитай в интернете что такое алгоритм, если ты это поймешь, то ты поймешь и принцип роботы программ.

Вообще-то "программной логикой" (она же code-behind) называется в приложениях код на ЯП, который взаимодействует с интерфейсом, создаваемым языком разметки.
JS на сайте - это своего рода code-behind (хотя обычно это понятие применяется к WPF, Metro, WinPhone и пр. платформам, использующим язык разметки XAML).

То Глобул Арт: и кушать тоже надо хорошо. Сбалансированно: белки + жиры + углеводы + витамины + соль.
И, главное, отдыхать. В том числе отдыхать активно - не просто валяясь на диване, а, скажем, занимаясь спортом или катаясь на аттракционе.