Во многих языках программирования есть функции перевода в 8(16) -ричное значение. В каких случаях это необходимо?

генерация хэшей, цифровых подписей, пин-кодов двухфакторной авторизации, кодирование base32/64, работа с периферийными устройствами (модемы, ккм), базовая авторизация в протоколах pop3/smtp

Двоичные значения неудобны из-за своей громоздкости и трудности восприятия. А вот 16-ричное равно в точности половине байта. Потому преобразование двоичных данных любой длины в 16-ричную запись (и преобразование 16-ричной записи в двоичные данные) производится несравнимо проще и быстрее, чем при использовании десятичной системы. И потому 16-ричная запись используется везде, где надо последовательность байтов, не являющуюся текстом, записать в человекочитаемом виде.

Ключи, хэши, просмотр файлов данных, манипуляции с битами, запись кодов символов, не являющихся алфавитно-цифровыми, передача данных по протоколу, допускающему только текстовые данные, и т. д... Не существует области программирования, в которой 16-ричная запись не используется.

P.S. 8-ричная запись была очень популярна в период расцвета DEC. Но сейчас о ней вспоминают крайне редко: из 8-ричной записи длинного числа намного сложнее вычленить значение отдельного байта, чем из 16-ричной записи.

В случаях необходимости вывода 8|16ричных значений.

Для меня загадка, зачем в школе этому частному вопросу столько внимания уделяется да ещё и без объяснения цели.
В практике используется три системы, при чём 16иричная и двоичная запись надобится крайне редко. Остальные вобще не используются (ну, 8иричная ещё иногда встречается, нпрм в арифметике командного процессора - set /a)
Все эти СС - запись одного и того же числа в той степени краткости, которая в данный конкретный момент требуется. нпрм. Надо найти в бинарном файле определённую последовательность байт (в HEX редакторе) или в программе задаются константы для определённых событий.
В школьном курсе решили, что ученикам надо знать всё до деталей, хотя таковой перевод уже давно никто сам не делает - есть соответствующие методы. Мало того, что это сложно для школяра, так ещё и бесполезно.

Пока писал, сформулировал такой ответ
Запись в той или иной СС - это самый простой метод сжатия информации при её представлении в символьном виде (последнее уточнение важно).