Может ли автомат в электрическом щитке перегореть?

Странный вы человек, проверяете проводку на глазок.. . Позаимствуйте у соседей индикатор напряжения и пройдитесь им по проводке. Если до автомата индикатор будет светиться, а после него нет, меняйте автомат. Можно проверить и при помощи переноски, но боязно это вам советовать...)))

элементарно может сгореть особенно если номинал автомата не соответствует нагрузке в сети

Может!! ! Попробуйте его заменить! :)

На заглавный текст вопроса ответ простой. Вполне мог сгореть автомат, если он левый, недоброкачественный. Нормальный автоматический выключатель и ставится для защиты электропроводки:
- при перегрузке, в этом случае сработает тепловой расцепитель. Его можно включить не сразу, когда остынет биметаллическая пластина.
- при коротком замыкании, в этом случае сработает электромагнитный расцепитель. После устранения КЗ автомат можно включить сразу.
Исходя из описанного Вами (сработало два автомата) , можно сделать вывод, что было КЗ, если после устранения неисправности не включить автомат, то он, вероятно, вышел из строя и был не качественный.

ранее он уже срабатывал?
если да и не однократно, то меняйте его.

или сейчас попробуйте его повторно выключить и через пару минут включить

Здесь причин может быть и ни одна и не две. Автомат включился? Если он полностью включён рычажок должен находиться строго в верхнем положении. Возможно отгорание провода который подходит к Вашему автомату. ( как правило верхний) А может отпал провод нижний, который непосредственно идет на Вашу кв. И ещё есть один провод так называемая =земля= или =0=
Возможно отпал или ослаб в крепеже именно он. Это в щитке на Вашей площадке.

Который автомат отключился, резко нажми клавишу автомота вниз а потом взведи его снова.